Дифференциал

Если функция z= (x,y) дифференцируема в точке (x,y), то ее полное приращение в этой точке:

Dz= (x,y)Dx+ (x,y)Dy+a₁ Dx+a₂Dy,

где: a₁ и a₂ -бесконечно малые при Dx

Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных и обозначается:

df(x,y)=dz= (x,y)Dx+ (x,y)Dy (1)

По определению разность между полным приращением и полным дифференциалом функции в данной точке есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Dx иDy.

Dz-dz=a₁ Dx+a₂Dy, где a₁ и a₂ -бесконечно малые

Этим свойством широко пользуются в приближенных вычислениях, заменяя приращение функции z=f(x,y) ее дифференциалом, зависящим от Dx и Dy линейно, т. е.:

Пусть z=f(x,y), (x,y), (x,y) существует в точке (x,y)

Найти f(x+Dx,y+Dy)

По определению Dz= f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)

Заменим Dz полным дифференциалом dz

(x,y)Dx+ (x,y)Dy= f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)

Или

f(x+Dx,y+Dy)= f(x,y)+ (x,y)Dx+ (x,y)Dy

Пример

Найти

Рассмотрим функцию f(x,y)=

(x,y)=

(x,y)=

В точке x=1 и y=1 и непрерывны

Пусть Dx=0,02 Dy=0,05

Тогда f(x+Dx,y+Dy)= =1- 0,02+ 0,05=1,006

Функция двух переменных, имеющих в некоторой точке дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Дата добавления: 2015-08-13