Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Векторные дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. Перечислить векторные дифференциальные операции второго порядка.

Читайте также:
  1. Turbo Pascal. Операторы цикла.
  2. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
  3. Альтернативный оператор условия.
  4. Банковская система. Функции Центрального банка и коммерческого банка. Основные операции коммерческих банков (активные и пассивные)
  5. Бартерные операции
  6. В Новгородско-Лужской операции
  7. Валютные операции между резидентами физическими, юридическими лицами и уполномоченными банками.

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем и векторным полем являются: градиент, дивергенция, ротор. Эти действия называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только производные первого порядка).

Векторные операции – нахождение градиента, дивергенции, ротора, удобно описывать с помощью дифференциального оператора, который обозначается символом (читается «набла») и называется оператором Гамильтона:

.

Он приобретает смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины , , , понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Выразим основные дифференциальные операции с помощью оператора Гамильтона:

1. .

2. .

3. .

 

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действии с ними надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применит этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Можно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: , , , , . Понятно, что, например, операция не имеет смысла, так как - есть скаляр.

Дифференциальный оператор

также называется оператором Гамильтона.

Запишем основные дифференциальные операции второго порядка, используя оператор Гамильтона:

1. .

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение

,

которое называется дифференциальным уравнением Лапласа. Это уравнение играет важную роль в различных разделах математической физике. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

2. , так как векторное произведение двух одинаковых векторных полей равно нулевому вектору. Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

 

3. .

 

4. , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковых, равно нулю.

 

5. .


Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 482 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Работа переменной силы | Вычисление поверхностного интеграла I рода | Вычисление поверхностного интеграла II рода. Формула Остроградского - Гаусса для вычисления поверхностного интеграла II рода. | Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. | Градиент | Векторное поле. Векторные (силовые) линии. Векторная трубка. | Поток векторного поля через поверхность. Формула вычисления потока векторного поля. Источник и сток. Формула Остроградского – Гаусса для вычисления потока. | Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля | Потенциальное векторное поле | Числовой ряд. n-ая частичная сумма ряда. Сходимость и расходимость ряда. Некоторые свойства рядов. -ый остаток ряда. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Формула Стокса| Классификация векторных полей: определения соленоидального, потенциального и гармонического векторного поля.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)