Векторные дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. Перечислить векторные дифференциальные операции второго порядка.

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем и векторным полем являются: градиент, дивергенция, ротор. Эти действия называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только производные первого порядка).

Векторные операции – нахождение градиента, дивергенции, ротора, удобно описывать с помощью дифференциального оператора, который обозначается символом (читается «набла») и называется оператором Гамильтона:

.

Он приобретает смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора на скаляр или вектор производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на величины , , , понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Выразим основные дифференциальные операции с помощью оператора Гамильтона:

1. .

2. .

3. .

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действии с ними надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применит этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Можно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: , , , , . Понятно, что, например, операция не имеет смысла, так как - есть скаляр.

Дифференциальный оператор

также называется оператором Гамильтона.

Запишем основные дифференциальные операции второго порядка, используя оператор Гамильтона:

1. .

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение

,

которое называется дифференциальным уравнением Лапласа. Это уравнение играет важную роль в различных разделах математической физике. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

2. , так как векторное произведение двух одинаковых векторных полей равно нулевому вектору. Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

3. .

4. , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковых, равно нулю.

5. .

---

Дата добавления: 2015-08-09