Вычисление поверхностного интеграла II рода. Формула Остроградского - Гаусса для вычисления поверхностного интеграла II рода.

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области.

Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла (3.4) к вычислению двойного интеграла:

. (3.5)

где - проекции поверхности на плоскость , - нормальный вектор к поверхности , которая задана функцией . Причем в двойном интеграле переменную надо заменить на .

Поверхностный интеграл II рода в формуле (3.4) можно записать иначе:

. (3.6)

Пусть функция непрерывна во всех точках поверхности , которая задана непрерывной функцией в замкнутой области - проекции поверхности на плоскость . Тогда справедлива следующая формула:

. (3.7)

При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если .

Если поверхность задана непрерывной функцией в замкнутой области - проекции поверхности на плоскость . Тогда справедлива следующая формула:

. (3.8)

При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если .

Если поверхность задана непрерывной функцией в замкнутой области - проекции поверхности на плоскость . Тогда справедлива следующая формула:

. (3.9)

При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если .

Если - замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая область , а - функции непрерывные со своими частными производными первого порядка в замкнутой области , то справедлива следующая формула:

. (3.10)

Формула (3.10) называется формулой Остроградского – Гаусса.

Эта формула позволяет упростить вычисление многих поверхностных интегралов.

Дата добавления: 2015-08-09