Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от неотрицательной функции () численно равен объему тела, которое сверху ограничено поверхностью , снизу – замкнутой областью плоскости , с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница , т.е.

.

Физический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл от функции численно равен массе плоской пластины, если подынтегральная функция считать плотностью этой пластины в точке , т.е.

Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла функции одной переменной на отрезке. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла (без доказательства), считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1. , где .

2. .

3. Если область разбить линией на две области и такие, что , а пересечение , где - линия, разделяющая и (см. рисунок), то

4. Если в области имеет место неравенство , то и

.

5. Если в области функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

6. Если , , то , где - площадь области интегрирования .

7. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

,

где и - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области .

8. Если функция непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то в этой области существует такая точка , что

.

Величину называют средним значением функции в области .

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Дата добавления: 2015-08-09