Читайте также: |
|
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что , где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а и - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в дух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .
В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , и . Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:
.
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
.
С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,
.
Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области используется следующая формула
(1.2)
Правую часть (1.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . Интеграл называется внутренним интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .
Если область ограничена прямыми и (), кривыми и , причем для всех , т.е. область - правильная (стандартная) в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получаем
Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 113 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. | | | В полярных координатах |