Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

В декартовых координатах

Читайте также:
  1. В полярных координатах
  2. В сферических координатах
  3. Мал. 1 Основний рівень і інтервали варіювання в природних ( ) і кодованих ( ) координатах.

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что , где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а и - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в дух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси : , где .

В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где , и . Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:

.

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

.

С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,

.

Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области используется следующая формула

(1.2)

 

Правую часть (1.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . Интеграл называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .

Если область ограничена прямыми и (), кривыми и , причем для всех , т.е. область - правильная (стандартная) в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получаем


Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 113 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Масса плоской фигуры | Тройной интеграл. Схема получения тройного интеграла. | В сферических координатах | Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой. | Некоторые приложения КРИ-I рода в геометрии и физике. | Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства КРИ-II. | Работа переменной силы | Вычисление поверхностного интеграла I рода | Вычисление поверхностного интеграла II рода. Формула Остроградского - Гаусса для вычисления поверхностного интеграла II рода. | Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.| В полярных координатах

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)