Мал. 1 Основний рівень і інтервали варіювання в природних ( ) і кодованих ( ) координатах.

Номери вершин квадрата на мал. 1 відповідають номерам дослідів в матриці планування (таблиця. 1). Площа, обмежена квадратом, називається областю експерименту.
Матриця планування для повного факторного експерименту типу приведена в таблицю. 2.

Таблиця 2 - Матриця планування експерименту

Номер досліду				Літерні позначення рядків
	-1	--1	+1	C
	-1	+1	-1	B
	+1	-1	-1	A
	+1	+1	+1	Abc
	-1	-1	-1	(1)
	-1	+1	+1	Bc
	+1	-1	+1	Ac
	+1	+1	-1	Ab

Розглянуті матриці планування повних факторних експериментів відносяться до випадку планування дослідів з 2-3-ма факторами. Тепер з'ясуємо, які загальні властивості ці матриці мають незалежно від числа факторів. Говорячи про властивості матриць, ми маємо на увазі ті з них, які визначають якість моделі. Адже експеримент і планується для того, щоб отримати модель, що наділена деякими оптимальними властивостями. Це означає, що оцінки коефіцієнтів моделі повинні бути найкращими і що точність передбачення параметра оптимізації не повинна залежати від напрямку в факторному просторі, бо заздалегідь неясно, куди належить рухатися в пошуках оптимуму.

Дві властивості йдуть безпосередньо з побудови матриці. Перше з них - симетричність щодо центру експерименту - формулюється наступним чином: алгебраїчна сума елементів вектор - стовпець для кожного фактора дорівнює нулю

де номер рядка за кількістю дослідів , - номер фактора.
Друга властивість - так звана умова нормування - формулюється так: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів. Це наслідок того, що значення факторів в матриці задаються +1 і -1.

Для зручності роботи введемо в матриці повного факторного експерименту додатковий стовпець з індексом , що складається з одних одиниць зі знаком +. Надалі цей стовпець знадобиться при обчисленні початкового елемента функції відгуку. Як приклад матриця планування типу з нульовим стовпцем представлена в табл. 3.

Таблиця 3 - Матриця планування експерименту з нульовим стовпцем

Номер досліду				Літерні позначення рядків
	+1	-1	-1	(1)
	+1	-1	+1	A
	+1	+1	-1	B
	+1	+1	+1	Ab

Сума почленних утворень будь-яких двох вектор - стовпців матриці при () дорівнює нулю:

Ця важлива властивість називається ортогональністю матриці планування.
Остання, четверта властивість називається ротатабельністю. У цьому випадку точки в матриці планування підбираються так, що точність передбачення значень параметра оптимізації однакова на рівних відстанях від центру експерименту.

4. Математична модель для повного факторного експерименту
У разі повного факторного експерименту функція відгуку для параметра залежно від кодованих факторів шукається у вигляді відрізка - ряду Тейлора
(4)
Наша мета - знайти за результатами дослідів, поставлених у всіх точках повного факторного експерименту, значення невідомих коефіцієнтів в математичній моделі (4).
Коефіцієнти регресії цієї моделі обчислюються за формулами [1]:

(5)
де номер стовпця належить до нульового стовпця матриці планування, який складається з одних елементів +1. У випадку маємо:

Ви бачите, що завдяки кодуванню факторів розрахунок коефіцієнтів перетворився у просту арифметичну процедуру. Тепер у нас є все необхідне, щоб знайти невідомі коефіцієнти лінійної моделі залежно від вхідних факторів у натуральному вимірі
(6)
Для отримання останнього рівняння достатньо скористатися формулами переходу (2) від кодованих змінних до натуральних. Коефіцієнти при незалежних змінних вказують на ступінь впливу факторів. Чим більше чисельна величина коефіцієнта, тим більший вплив він надає. Якщо коефіцієнт має знак плюс, то зі збільшенням значення фактора параметр оптимізації збільшується, а якщо мінус, то зменшується. Величина коефіцієнта відповідає внеску даного фактора у величину параметра оптимізації при переході фактора з нульового рівня на верхній або нижній.

Внесок -го фактора в загальний вплив на вихідну величину зручно оцінити значенням , яке визначає змінну при переході цього фактору від нижнього до верхнього рівня. Внесок, визначений таким чином, отримав назву ефекту фактора (іноді його називають основним або головним ефектом). Він чисельно дорівнює подвоєному коефіцієнту. Для якісних факторів, варійованих на двох рівнях, основний рівень немає фізичного сенсу. Тому поняття "ефект фактора" є тут природним.
Плануючи експеримент, на першому кроці ми прагнемо отримати лінійну модель. Однак у нас немає гарантії, що в обраних інтервалах варіювання процес описується лінійною моделлю. Існують способи перевірки придатності лінійної моделі. А якщо модель нелінійна, як кількісно оцінити нелінійність, користуючись повним факторним експериментом?

Один з найпоширеніших видів нелінійності пов'язаний з тим, що ефект одного чинника залежить від рівня, на якому знаходиться інший фактор. У цьому випадку говорять, що має місце ефект взаємодії двох факторів. Повний факторний експеримент дозволяє кількісно оцінювати ефекти взаємодії. Для цього треба, користуючись правилом множення стовпців, отримати стовпець утворений для двох факторів. При обчисленні коефіцієнта, відповідного ефекту взаємодії, з новим вектор-стовпцем можна поводитися так само, як з вектор-стовпцем будь-якого фактора.

Для повного факторного експерименту матриця планування з урахуванням ефекту взаємодії продуктів представлена в табл. 4. Дуже важливо, що при додаванні стовпців ефектів взаємодій всі розглянуті властивості матриць планування зберігаються.

Таблиця 4 - Матриця планування експерименту з ефектом взаємодій

Номер досліду
	+1	-1	-1	+1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1
	+1	+1	+1	+1

Математична модель з урахуванням взаємодії виглядає наступним чином:
(7)
Коефіцієнт взаємодії обчислюється звичайним шляхом:
(8)
Стовпці і задають вхідні параметри моделі. За ним безпосередньо визначаються умови дослідів, стовпці і служать тільки для розрахунку.
Звертаємо вашу увагу на те, що при оптимізації ми прагнемо зробити ефекти взаємодії можливо меншими. У задачах інтерполяції, навпаки, їх виявлення часто важливе і цікаве.

Дата добавления: 2015-08-09