Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

Полем называется область пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.Если каждой точке этой области определено число , говорят, что в области определено (задано) скалярное поле или функция точки. Иначе можно сказать, что скалярное поле – это скалярная функция вместе с ее областью определения.

Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция, и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .

Производной от функции в точке по направлению вектора называется предел отношения при , т.е. .

Если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

,

где - направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:

, где .Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению вектора . Если , то функция возрастает в направлении , если , то функция убывает в направлении .

Дата добавления: 2015-08-09