Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

В полярных координатах

Читайте также:
  1. В декартовых координатах
  2. В сферических координатах
  3. Мал. 1 Основний рівень і інтервали варіювання в природних ( ) і кодованих ( ) координатах.
  4. СХЕМА ПОЛЯРНЫХ ПРОФИЛЕЙ ЧЕРТ ХАРАКТЕРА

При вычислении определенного интеграла важную роль играет правило замены переменной, согласно которому при соблюдении соответствующих условий получаем

.

Обычно функция монотонна. Она осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками промежутка изменения переменной и точками промежутка изменения переменной . Делая замену по формуле , необходимо заменить на и вместо старых пределов и по переменной взять им соответствующие новые пределы и по переменной .

Для упрощенного вычисления двойного интеграла также применяется метод подстановки. Но правило замены переменной в двойном интеграле значительно сложнее, чем в определенном интеграле. Приведем только окончательную формулу замены переменных в двойном интеграле и разъясним ее на примере преобразования к полярным координатам.

 

Определим преобразование независимых переменных и как

и .

Если функции и имеют в некоторой области плоскости непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

,

а функция непрерывна в области , то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

. (1.4)

Сами новые переменные и называются криволинейными координатами. Различные системы криволинейных координат играют важную роль в математике и ее приложениях.

Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби (1804 – 1851) – немецкий математик).

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат и полярными координатами и .

В качестве переменных и возьмем полярные координаты и . Они связаны с декартовыми координатами формулами , .

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется как

 

Формула замены переменных (1.4) принимает вид:

, (1.5)

где - область в полярной системе координат, соответствующая области в декартовой системе координат.

5. Приложения двойного интеграла в геометрии и физике.

Объем такого цилиндра численно равен площади основания , т.е. площади области интегрирования . Тогда для вычисления площади плоской фигуры получаем формулы:

1. для вычисления в декартовой системе координат: ;

2. для вычисления в полярной системе координат: .


Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 194 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. | Тройной интеграл. Схема получения тройного интеграла. | В сферических координатах | Вычисление криволинейного интеграла I рода: явное представление кривой, параметрическое представление кривой, полярное представление кривой. | Некоторые приложения КРИ-I рода в геометрии и физике. | Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства КРИ-II. | Работа переменной силы | Вычисление поверхностного интеграла I рода | Вычисление поверхностного интеграла II рода. Формула Остроградского - Гаусса для вычисления поверхностного интеграла II рода. | Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
В декартовых координатах| Масса плоской фигуры

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)