Потенциальное векторное поле

Векторное поле называется потенциальным или безвихревым, или градиентным в односвязной области , если в каждой точке этой области

.

Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда и другие.

Приведем некоторые свойства потенциального поля:

1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю. В поле скоростей текущей жидкости равенство означает, что в потоке нет замкнутых струек, т.е. нет водоворотов.

2. В потенциальном поле криволинейный интеграл вдоль любой кривой с началом в точке и концом в точке зависит только от положения точек и , и не зависит от формы кривой.

3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , т.е. если , то существует функция такая, что .

Из равенства следует обратное утверждение: поле градиента скалярной функции является потенциальным.

Для того чтобы поле было потенциальным в области , необходимо и достаточно, чтобы существовала дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция , такая, что , которая называется потенциальной функцией (потенциалом) поля .

Потенциал векторного поля можно найти по следующей формуле:

,где - некоторая фиксированная точка области , - любая точка области , - произвольная постоянная.

Дата добавления: 2015-08-09