Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда. Достаточ-ный признак расходимости ряда. Гармонический ряд.

Нахождение -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема 1.1. (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Доказательство. Пусть ряд (1.1) сходится и . Тогда (при и ). Учитывая, что при , получаем:

.

Теорема 1.2. (достаточный признак расходимости ряда) Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Теорему 1.2. примем без доказательства.

Теорема 1.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

Например, гармонический ряд

(1.7)

общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.

Дата добавления: 2015-08-09