Числовой ряд. n-ая частичная сумма ряда. Сходимость и расходимость ряда. Некоторые свойства рядов. -ый остаток ряда.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

, (1.1)

где - члены ряда (действительные или комплексные числа), число - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера можно записать соответствующий член ряда: , т.е. при помощи формулы -го члена.

Если формула дана, то можно сразу написать любой член ряда. Например, если , то ряд имеет вид: . Если (), то ряд имеет вид: .

Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задается несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда. Например, пусть , а рекуррентная формула такова: . Последовательно находим ; и т.д. Таким образом, получаем ряд: .

Определение 1.2. Сумма конечного числа первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда:

.

Рассмотрим частичные суммы

,

,

………………….

Если существует конечный предел , то этот предел называют суммой ряда (1.1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует или , то ряд (1.1) расходится и суммы не имеет. Например, ряд сходится и его сумма равна 0; ряд расходится, так как при ; ряд расходится, так как последовательность частичных сумм не имеет предела.

Дата добавления: 2015-08-09