Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле.

Теорема 1.6 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд (1.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел

.

Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится.

При радикальный признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуется с помощью других признаков.

Теорема 1.7 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями непрерывной положительной функции при целых значениях аргумента :

,

и пусть монотонно убывает на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если несобственный интеграл расходится.

Надо отметить, что вместо интеграла можно брать интеграл , где . Отбрасывание первых членов ряда, как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд

, (1.10)

где - действительное число, ряд называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Дата добавления: 2015-08-09