Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (3.2)

где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, - фиксированное число.

При получаем степенной ряд вида

. (3.3)

Ряд (3.2) легко приводится к ряду (3.3), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов иногда ограничиваются степенным рядом (3.3).

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (3.3). Область сходимости этого степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку (ряд (3.2) сходится в точке ).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема 3.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.3) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству

.

Пусть . Интервал или называют интервалом сходимости. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Таким образом, - это такое число, что при всех , для которых , ряд (3.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится (см. рисунок).

Дата добавления: 2015-08-09