Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

Теорема 4.1 (теорема Дирихле). Пусть -периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1. кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2. кусочно-монотонна, т.е. монотонная на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующей функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией , т.е. ;

2. в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева, т.е.

;

3. в точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна

.

Пусть функция , определенная на отрезке , имеет период (, где - произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.

Сделав подстановку , данную функцию преобразуем в функцию , которая определена на отрезке и имеет период . Действительно, если , то ; если , то и при имеем .

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке имеет вид:

,

где

.

Возвращаясь к переменной и заметив, что , , получим

, (4.10)

где

(4.11)

.

Ряд (4.10) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (4.11), называется рядом Фурье для функции с периодом .

Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье -периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых .

В частности, если функция на отрезке четная, то ее ряд Фурье имеет вид:

, (4.12)

где , , ;

если функция - нечетная, то ряд Фурье имеет вид:

, (4.13)

где , .

Дата добавления: 2015-08-09