Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Теорема 4.1 (теорема Дирихле). Пусть -периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1. кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2. кусочно-монотонна, т.е. монотонная на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующей функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией , т.е. ;

2. в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева, т.е.

;

3. в точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна

.

Допустим, что разлагаемая в ряд Фурье функция - четная. Тогда функции будут нечетными и все коэффициенты , как интегралы от нечетных функций по интервалу , симметричному относительно начала координат, окажутся равными нулю. Функции будут четными.

Итак, если функция - четная, то ряд Фурье имеет вид (состоит из одних косинусов):

, (4.8)

где , , .

Допустим, что разлагаемая в ряд Фурье функция - нечетная. Тогда функции будут нечетными и все коэффициенты , как интегралы от нечетных функций по интервалу , симметричному относительно начала координат, окажутся равными нулю. Функции будут четными.

Итак, если функция - нечетная, то ряд Фурье имеет вид (состоит из одних синусов):

, (4.9)

где , .

Ряды (4.8) и (4.9) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

Дата добавления: 2015-08-09