Линейные ДУВП. Задача Коши. Т. Коши-Пикара. Однородные и неоднородные уравнения. Некоторые свойства решений ЛОДУ. Линейная независимость системы функций. Определитель Вронского.

- линейное ДУВП. Если , то это линейное однородное, иначе – неоднородное. Задача Коши: .

Т. Коши-Пикара: если и - непрерывны на , то задача коши при любых конечных начальных условиях имеет единственное решение, непрерывное на .

Говорят, что на множестве задан оператор со значениями из , если . Оператор линейный, если он однородный и аддитивный. - линейный дифференциальный оператор. Он определен на пространстве функций, непрерывных вместе с производными, непрерывен до n -го порядка включительно.

- линейное однородное ДУ.

Некоторые свойства решений:

# если - частное решение, - тоже частное решение

# если , - частные решения, то - тоже ЧР

# если - частные решения, то - частное решение

# если с действительными коэффициентами имеет комплексное решение , то и - частные решения.

Функции - линейно независимые, если тогда и только тогда, если .

Введем определитель Вронского:

Т.: если линейно независимы на интервале , то на этом интервале.

Доказательство: продифференцируем раз по тождество . Относительно возникла линейная однородная алгебраическая система уравнений, следовательно ее определитель равен 0.

Если , то о линейной зависимости нельзя говорить однозначно.

Следствие: если , то линейно независимы.

Доказательство: пусть , а - линейно зависима, то есть . Найдено противоречие.

Таким образом, - необходимое условие линейной зависимости функций, - достаточное условие линейной независимости функций.

7. Линейная независимость частных решений ЛОДУ n -го порядка. Формула Остроградского-Лиувилля.

(1)

Т.: чтобы n частных решений уравнения с коэффициентами, непрерывными на , были линейно независимы на необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке .

Доказательство: 1) необходимость. Пусть . Составим систему: . Относительно получена линейная однородная алгебраическая система уравнений с определителем, равным 0, следовательно, она имеет нетривиальное решение. Рассмотрим . Она будет решением (1) и удовлетворять нулевым начальным условиям. Но таким начальным условиям удовлетворяет тривиальное решение , следовательно, по т. Коши-Пикара, эти решения совпадают. Таким образом, линейная комбинация равна 0 и не все коэффициенты равны 0, следовательно линейно зависима. Противоречие найдено.

2) достаточность следует из доказанной теоремы для произвольной функции.

Следствие: для линейной зависимости n решений уравнения (1) с непрерывными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство: 1) необходимость следует из вышедоказанной теоремы.

2) достаточность. Пусть , функции линейно независимы, следовательно по теореме . Обнаружено противоречие.

Таким образом, - НиД условие линейной зависимости решений, - НиД условие линейной независимости решений.

Для вронскиана n решений (1) справедлива формула Остроградского-Лиувилля . Для решения (1) либо тождественно равно 0, либо не равен 0 нигде.

Т.: для линейной независимости n частных решений (1) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы в одной внутренней точке .

8. Линейные ДУ n -го порядка. ФСР. Теорема об общем решении ЛОДУ.

- линейное ДУВП.

(1)

ФСР – система n линейно независимых на частных решений ЛОДУ n -го порядка .

Т. о существовании ФСР: уравнение (1) с непрерывными на коэффициентами имеет ФСР на .

Доказательство: выберем , , , , …, , . Таким образом, .

ФСР с - нормированная в .

ЛОДУ имеет бесконечное множество ФСР. При переходе от одной ФСР к другой вронскиан умножается на константу.

Т. об общем решении ЛОДУ (1): пусть коэффициенты (1) непрерывны на , а - ФСР, тогда (2)

Доказательство: при любом наборе это выражение будет решением. Покажем, что для любых начальных условий из (2) можно выделить частное решение. . Относительно - линейная однородная алгебраическая система уравнений с определителем равным вронскиану, отличному от 0, следовательно она имеет нетривиальное решение.

Следствие: максимальное число линейно независимых решений равно порядку уравнения (1).

Дата добавления: 2015-08-09