ЛОДУ второго порядка с ПеремК.

Если известно одно частное решение ЛОДУ 2 порядка , то его общее решение всегда может быть получено в квадратурах. Второе же частное решение, линейно независимое с первым, этого уравнения можно получить по формуле Остроградского-Лиувилля: .

26. Способы поиска ЧР ЛНДУ n -го порядка с ПеремК. Неоднородное ДУ Эйлера.

Способы поиска ЧР:

1) подбор в виде , или многочлена

2) метод Лагранжа

3) метод Коши

(1) - неоднородное уравнение Эйлера.

Т.: общее решение неоднородного уравнения Эйлера может быть получено в квадратурах.

Доказательство: общее решение соответствующего однородного уравнения может быть получено, исходя из теории, а частное решение неоднородного – методом Лагранжа.

Т.: если в (1) имеет вид , то общее решение может быть получено без квадратур.

Доказательство: сделаем замену , получим ДУ вида . В этом случае частное решение подбирается методом неопределенных коэффициентов.

27. Системы обыкновенных ДУ. Каноническая и нормальная системы. Приведение ДУ n -го порядка, разрешенного относительно старшей производной, к нормальной СДУ n -го порядка.

Система обыкновенных ДУ – система k соотношений (1), связывающих независимую переменную x и k неизвестных функций.

Порядок системы – сумма порядков старших производных:

Система уравнений высших порядков, разрешенных относительно старших производных – каноническая.

(2).

Система (1) может быть приведена к виду (2), если

Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных – нормальная.

(3).

Каноническая система (2) может быть приведена к нормальной системе порядка . Примем все производные, стоящие справа за новые неизвестные функции: , , …, , …, . Получим систему: . Это и есть нормальная форма.

Т.: ДУ n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной, приводится к нормальной СДУ n -го порядка.

Доказательство: пусть дано уравнение , введем новые функции: , , …, . Тогда запишем систему: .

Дата добавления: 2015-08-09