Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Второго порядка

Читайте также:
  1. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
  2. Векторные дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. Перечислить векторные дифференциальные операции второго порядка.
  3. ДУВП. Решение. Общее решение. Общий интеграл. Промежуточный интеграл. Первый интеграл. Понижение порядка с помощью независимых первых интегралов.
  4. Какие меры ответственности могут быть применены к операторам почтовой связи и их должностным лицам за нарушение установленного порядка и сроков доставки судебных извещений?
  5. Касательна плоскость и нормаль к пов. второго пор
  6. Конец золотого стандарта и начало нового мирового финансового порядка

Начнём с задачи из механики. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки массы по оси . Отклонение точки от положения равновесия будем определять функцией . Пусть движение происходит под действием трёх сил: силы, притягивающей точку к началу координат и имеющей проекцию на ось , равную , силы сопротивления среды, которую считаем пропорциональной первой степени скорости и возмущающей силы, направленной по оси и равной в момент времени .

Применяя второй закон Ньютона к движущейся массе, получим

.

Разделим обе части уравнения на и после введения новых обозначений , и приведем его к виду

. (2.1)

Полученное уравнение относится к классу так называемых линейных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих вид

. (2.2)

В них неизвестная функция и ее производные входят линейно. В качестве коэффициентов уравнения и могут рассматриваться любые функции, непрерывные в интервале . При этих условиях существует единственное решение уравнения (2.2), удовлетворяющее заданным начальным условиям .

Если правая часть уравнения (2.2) равна нулю:

, (2.3)

то оно называется однородным, в противном случае (если ) – неоднородным.

Уравнение вида (2.2) служит математической моделью разнообразных колебательных физических процессов, то есть процессов, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника или груза на пружине изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако они описываются сходными характеристиками и уравнениями одинакового типа. Математические модели, сводящиеся к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, называют линейным осциллятором.

Методика решений рассматриваемых уравнений базируется на следующем утверждении. Если и – два каких-либо непропорциональных друг другу решения уравнения (2.3), т.е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

,

где – произвольные постоянные. Следовательно, два любых непропорциональных решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка формируют его общее решение. Однако нет общего метода отыскания функций и . Их легко найти в случае, когда коэффициенты уравнения (2.3) являются числами. Обозначим их и :

. (2.4)

Такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решения ищут в виде функций . Рассмотрим, например, уравнение

.

Подставив в него функцию , а также ее производные и , получим . Поскольку , функция будет решением, если – корень квадратного уравнения

,

которое называют характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения. Его корни и , поэтому непропорциональные функции и формируют общее решение этого уравнения . В общем виде характеристическое уравнение дифференциального уравнения (2.4) имеет вид

. (2.5)

Если , то уравнение (2.5) имеет два различных действительных корня и , которые определяются формулой

.

При этом непропорциональные решения уравнения и формируют общее решение уравнения (2.4) в виде

.

Рассмотрим дифференциальное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня (в таком случае говорят, что – корень кратности два). Одно из решений в этом случае нам известно: . Непосредственной подстановкой в уравнение можно убедиться, что функция также будет решением этого уравнения. Поскольку полученные функции непропорциональны, общее решение дифференциального уравнения получается в виде .

В целом можно сказать, что если выполняется условие , то характеристическое уравнение (2.5) имеет кратный корень , а общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид .

Если же характеристическое уравнение (2.5) имеет комплексные корни , то можно убедиться, что функции и образуют пару непропорциональных решений уравнения (2.4), а его общее решение имеет вид

.

Такая ситуация возникает, если , при этом , .

Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет комплексные корни , а общее решение, тем самым, приобретает вид . Для уравнения также составим характеристическое уравнение: . Его комплексные корни позволяют записать общее решение дифференциального уравнения в виде .

Вернёмся теперь к механическим колебаниям. Отсутствию возмущающей силы соответствует уравнение (2.1), в котором :

. (2.6)

Такое уравнение называется уравнением свободных колебаний. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

. (2.7)

Свободные колебания в среде без сопротивления описываются уравнением . В этом случае характеристическое уравнение имеет мнимые корни , ему соответствует общее решение

Удобно привести записанное решение к другой форме, введя новые обозначения. Умножив и разделив на , получим

Если положить

,

то общее решение приобретает вид

.

Оно описывает движение, которое называют гармоническим колебанием. Его график имеет вид:

Величину называют амплитудойколебания, аргу­мент — фазойколебания, величину - начальной фазойколебания. Величина представляет собой частотуколебания. Напомним, что . Периодколе­бания и частота k зависят только от массы системы и силы, притягивающей точку к началу координат. В задаче о движении тела, подвешенного на пружине, это означает зависимость от жесткости пружины.

Свободные колебания в среде с сопротивлением описываются уравнением (2.6). Если , то характеристическое уравнение (2.7) имеет два различных действительных корня . В модели движения груза на пружинке указанное условие означает, что сила сопротивления среды большесилы упругости пружины. Общее решение дифференциального уравнения в этом случае описывает апериодическое движение. Поскольку корни характеристического уравнения отрицательны, то с ростом координата стремится к нулю.

Характеристическое уравнение (2.7) имеет кратный корень , если , то есть . Для задачи о движении груза на пружине это означает, что сила сопротивления и сила упругости пружины «уравновешены» в смысле указанного равенства. Общее решение приобретает вид . При малых значениях основную «роль» играет первый множитель, линейный относительно , а затем с увеличением материальная точка будет стремиться к положению равновесия.

Если же (то есть - упругая сила пружины превосходит силу сопротивления среды в задаче о грузе на пружине), то характеристическое уравнение (2.7) имеет комплексные корни .

Общее решение

описывает затухающие гармонические колебания с периодом , частотой и амплитудой , убывающей с увеличением . Вид графика решения:

 

Проанализировав полученные результаты, можно сказать, что наличие сопротивления видоизменяет характер колебаний: пока сопротивление сравнительно невелико , движения остаются периодическими, затухая с увеличением , при большом сопротивлении среды движения становятся апериодическими.

 


Дата добавления: 2015-08-09; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Числовые ряды | Разложение функций в степенные ряды | Контрольные задания | Контрольное задание 12 |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Часть III| Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)