Касательна плоскость и нормаль к пов. второго пор

Опр. Касательной прямой к пов. 2го пор. в данной на ней неособой точке, наз. прямая, проходящая через эту точку и пересек. пов. 2го пор. в 2-кратной точке или явл. прямолинейной образующей данной пов.

Теорема Касательн. прямые пов. 2го пор. в данной на ней неособой точке Мо(х₀,у₀,z₀) всегда лежат в одной пл., которая наз. касательной пл. к пов.2го пор. и ур. этой касательной: (2)

Док пусть пов. 2го пор. задана относительно ОДСК ур(1) 2F(х,у,z)=a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁₂xy+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃z²+2a₁₃xz+2a₂₃yz+2a₃₄z+a₄₄=0

Пусть (3) ур. прямой, проходящей через М₀.

Подставим (3) в (1)=>(4)

Поскольку Мо лежит на пов. (1) то N=0=>в (4) t=0 и это значение соотв. т.Мо.

Поскольку т. Мо была кратной или чтобы прямая цеком принадлежала пов. <=> чтобы М=о т..е чтобы Мо удовл. ур. (5)

При этом если L 0, точка пересек. с пов. двойная, а если L=0, то прямая целиком лежит на пов.

Из соотнош. (5) и (3) => коорд. (х,у,z) любой точки М, лежащей на касательной к ур.(1) всегда удовл. ур(2) справедливо и обратное, если коорд. т.М удовл. (2) то тогда будут удов. коорд(5)

А значит МоМ будет касательно к пов(1). Поскольку хотябы 1 из коэф в(2) , то ур(2) явл. ур. превой степени, которое в пространстве опр. плоскость. (Док)

Опр. Нормалью к пов. (1) в т.Мо наз. прямая прох. через. т.Мо и перпенд. касательной пл., прох. через эту же точку.: (6)

Дата добавления: 2015-08-09