Центр поверхности 2го порядка. Классификация поверхности по характеру места их центра.

Определение: хордой поверхности 2го порядка называется отрезок который соединяет 2 точки этой поверхности. Центром поверхности 2го порядка называется точка, в которой все хорды поверхности 2го порядка делятся пополам. Следовательно центром поверхности 2го порядка называется центр симметрии поверхности 2го порядка. Пусть поверхность задана уравнением (1):

Рассмотрим прямую (2)

Проходящую через т. M₀ и не имеющую ассимптотических направлений (L≠0). Подставим (2) в (1) – получим (3):Lt²+Mt+N=0, где L,M,N имеют вид (4) (5) (6). Пусть прямая пересекает поверхность в 2х точках (t₁;t₂). Если M₀ – середина отрезка то t₁+t₂=0, а значит M в (3) M=0, для любого l,m,n, т.е.:

Таким образом координаты центра поверхности 2го порядка можно определить, как решение системы (1):

Используя критерий Кронекера-Капелли возможны 4 случая: 1.) r(A)=3 →r(B)=3 (5)

Тогда система (4) имеет единственное решение → поверхность (1) имеет единственный центр – точку. Поверхность называется центральной. (5) выполняется для всех повыерхностей 1ой группы 2.) r(A)=2, r(B)=3 (6) Система (4) несовместна, и поверхность называется центральной. (6) выполняется для всех поверхностей 2ой группы.

3.) r(A)=2, r(B)=2 (7). (4) совместна. Множество решений – прямая, называется прямая центров. (7) выполняется для 3ей группы.

4.) r(A)=1, r(B)=2 (8) Система (4) несовместима, центров нет, бесконечно удалённая прямая центров. (8) – 4ая группа.

5.) r(A)=1, r(B)=1 (9) (4) совместна, бесконечное число решений – плоскость центров. (9) – 5ая группа.

Дата добавления: 2015-08-09