Разложение функций в степенные ряды

Ряд вида , слагаемые которого , ,..., ,… являются функциями переменной , называется функциональным рядом. Давая переменной определенные числовые значения, мы получим разные числовые ряды, некоторые из них могут оказаться сходящимися, другие - расходящимися. Целью исследования рядов из функций является нахождение значений , для которых числовой ряд является сходящимся. Совокупность всехзначений , при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси . Каждому значению из области сходимости функционального ряда соответствует определенное значение предела , являющееся функцией от . Его называют суммой функционального ряда и обозначают .

Ряд вида

, (5.1)

составленный из степенных функций (коэффициенты - действительные числа), называется степенным рядом. Именно такой вид функциональных рядов мы и будем рассматривать. Если , степенной ряд приобретает вид

. (5.2)

Заметим, что в точке степенной ряд (5.2) всегда сходится.

Для нахождения области сходимости степенного ряда используется т еорема Абеля. Если степенной ряд (5.2) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех значений , удовлетворяющих неравенству . Если же степенной ряд (5.2) расходится при , то он расходится и для всех значений таких, что .

Из теоремы Абеля вытекает, что всякая точка сходимости степенного ряда расположена не дальше от точки , чем всякая точка его расходимости. Поэтому существует интервал , для всех точек которого степенной ряд (5.2) сходится, а для всех : – расходится.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (5.2), а число - радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости (т.е. при и ) ряд может как сходиться, так и расходиться. Поэтому концевые точки интервала сходимости исследуются отдельно.

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из формул или при условии, что входящие в них пределы существуют.

Интервал сходимости рядов вида (5.1) симметричен относительно точки и описывается неравенствами .

Найдем, например, область сходимости степенного ряда . Выпишем коэффициенты и . Тогда

= = .

Следовательно, ряд сходится, если . Осталось исследовать ряд в концевых точках и .

При степенной ряд принимает вид . Это числовой знакоположительный ряд. Он расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости .

При степенной ряд принимает вид . Это числовой знакочередующийся ряд. Так как , то ряд расходится. Таким образом, область сходимости ряда совпадает с его интервалом сходимости: .

Для степенного ряда выпишем коэффициент . Радиус сходимости найдем по другой формуле: . Получили, что ряд сходится только в одной точке . Она и является его областью сходимости.

Исследуем далее степенной ряд , который относится к виду (5.1). Выпишем коэффициенты и , найдем радиус сходимости

.

Здесь , следовательно, ряд сходится при , т.е. при . Осталось исследовать ряд в концевых точках и .

При степенной ряд принимает вид

.

Это числовой знакоположительный ряд, который расходится, т.к. (необходимое условие сходимости не выполняется).

При степенной ряд принимает вид

.

Это числовой знакочередующийся ряд, который расходится по той же причине (). Тем самым, о бласть сходимости заданного степенного ряда: .

Мы рассмотрели задачу нахождения области сходимости степенных рядов. При этом сумма всякого степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри его области сходимости. В связи с этим возникает обратная задача: для некоторой функции найти степенной ряд, сумма которого в области сходимости равна исходной функции . Такой ряд называется разложением функции в степенной ряд.

Для решения поставленной задачи потребуется формула Тейлора. Пусть функция имеет в некотором замкнутом отрезке непрерывные производные до -го порядка включительно, а точка находится внутри этого отрезка. Тогда для любого из интервала справедлива формула Тейлора

где – остаточный член, который может быть записан в виде

(форма Лагранжа), причем число лежит между и (его можно представить в виде ), где .

Если в формуле Тейлора взять , то получим частный случай этой формулы – формулу Маклорена

Формулы Тейлора и Маклорена показывают, что функцию можно оценить многочленом -ой степени. Ошибка вычисления будет равна .

Пусть функция имеет в интервале , содержащем точку , производные любого порядка и, кроме того, для . Тогда функция может быть представлена рядом

(5.3)

который сходится, и его суммой будет функция . Представление функции в виде такого ряда называется разложением этой функции в ряд Тейлора.

При получим частный случай ряда Тейлора

, (5.4)

который называют рядом Маклорена.

Видим, что вопрос о разложении функции в ряд сводится к исследованию поведения остаточного члена при . В частности, остаточный член стремится к нулю, когда производные функции ограничены в совокупности в интервале , т.е. когда при каждом натуральном и каждом из этого интервала выполняется неравенство , где - положительная постоянная.

Итак, для разложения функции в степенной ряд нужно сначала формально составить для нее ряд Тейлора. С этой целью вычисляют производные функции в точке и подставляют их в разложение (5.3). Затем необходимо найти область сходимости полученного ряда и выяснить, для каких значений из этой области сходимости можно поставить знак равенства между функцией и ее рядом Тейлора.

Разложим, например, функцию в ряд Маклорена (по степеням ). Найдем числовые значения производных функции в точке :

,

,

,

.

Отсюда легко установить закономерность образования производной -го порядка: , .

Подставляя теперь значения этих производных в ряд (5.4), получаем ряд Маклорена для функции :

= .

Находим область сходимости полученного ряда. Так как

= ,

то ряд сходится для всех значений .

Выясним, для каких значений найденное разложение сходится к функции . С этой целью заметим, что ввиду справедливости неравенства производные всех порядков функции на любом отрезке , ограничены одним и тем же числом : . Отсюда следует, что найденное разложение сходится к функции при всех значениях , т.е. .

Во многих случаях можно пользоваться готовыми рядами, составленными для элементарных функций. Основными табличными разложениями назовем следующие разложения:

, ;

, ;

;

=

,

( – любое действительное число). Ряд называется биномиальным.

Eсли положить и заменить на , то получим ряд, который является геометрической прогрессией

, ;

, ();

, ().

Например, чтобыразложить функцию в ряд Маклорена, используем табличное разложение синуса, полагая . Тогда =

= .

Так как разложение функции в ряд имеет место для всех , то и разложение функции имеет место для всех .

Степенные ряды можно использовать для приближенных вычислений значений функции в точке. Для этого исходную функцию раскладывают в степенной ряд, сохраняя первые членов разложения, отбрасывая остальные. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов.

Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, состоящий из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка , где – первый из отброшенных членов ряда.

Вычислим, например, с точностью .Для этого используем готовое разложение функции в степенной ряд по степеням : .

Полагая в данном равенстве , получим

Определим, сколько членов ряда следует взять, чтобы погрешность приближенного равенства

не превышала заданного числа .

Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов ряда, следующих после в разложении :

,

или

Заменив каждый из сомножителей меньшей величиной , получим неравенство:

В скобке получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем прогрессии . Запишем ее сумму по формуле

.

Тогда .

Далее подбором определяем, при каком натуральном значении будет выполняться неравенство . Полагая, к примеру, имеем . (нельзя сказать с уверенностью, что ). Пусть далее . Тогда . Пусть, наконец, . Тогда , т.е. и можно принять . Следовательно,

=

Значит с точностью .

Заметим, что каждое слагаемое мы вычисляли с точностью до , чтобы при суммировании не получить погрешности, превышающей .

Вычислим далее с точностью .Используем готовое разложение функции в степенной ряд по степеням , взяв :

.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а потому допускаемая погрешность по абсолютной величине будет меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что . Поэтому можно отбросить это слагаемое и воспользоваться приближенным равенством

.

Тем самым, .

Степенные ряды применяют также для вычисления определенных интегралов. Если требуется вычислить определенный интеграла с заданной точностью , топодынтегральную функцию нужно разложить в ряд Маклорена, пользуясь готовыми разложениями функций , , , , , . Далее в области сходимости полученный ряд интегрируют почленно (для каждого слагаемого находят определенный иетеграл) если ряд явялется рядом Лейбница, отбрасывают все слагаемые, начиная с того, который по модулю меньше числа . Суммируя оставшиеся слагаемые, записываем ответ.

Вычислим, например, с точностью . Раскладываем подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя готовое разложение функции :

.

Получим

=

= .

Область сходимости полученного ряда – вся числовая ось. Далее находим первообразные функции для каждого из слагаемых этого степенного ряда

=

= .

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

.

Все члены полученного числового ряда, начиная с третьего, отбрасываем, поскольку третий член ряда равен и он меньше заданной точности . Окончательно получаем

.

Дата добавления: 2015-08-09