Часть III

П.В. Столбов

Математика

Утверждено редакционно-издательским

советом университета в качестве

учебного пособия

Нижний Новгород

ННГАСУ

ББК 22.1

С 81

Столбов П.В. Математика. Часть III [текст]: учебное пособие / П.В. Столбов; Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т. – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013. – 63 с.

ISBN 978-5-87941-880-0

Учебное пособие по математике предназначено для студентов всех специальностей и направлений.

ББК 22.1

ISBN 978-5-87941-880-0

© Столбов П.В., 2013

© ННГАСУ, 2013

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

В курсе математики средней школы изучались алгебраические уравнения, где неизвестными были числа. Сейчас мы переходим к рассмотрению так называемых дифференциальных уравнений, при решении которых находят неизвестные функции, удовлетворяющие заданным соотношениям, включающим операцию дифференцирования.

Рассмотрим для начала задачу о законе изменения скорости свободного падающего тела. Пусть тело массы падает с некоторой высоты. Учтем, что кроме силы тяжести, на него действует сила сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона

, (1.1)

предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости в каждый момент времени с коэффициентом пропорциональности . Уравнение (1.1), кроме неизвестной функции , содержит еще и ее производную . Это и есть дифференциальное уравнение.

Дадим общие определения. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

, (1.2)

связывающее независимую переменную и искомую функцию с ее первой производной . Если можно явно выразить через оставшиеся переменные уравнения (1.2), то оно приобретает вид

. (1.3)

Решением дифференциального уравнения (1.2) называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение (1.2) обращает его в тождество.

Можно убедиться, в частности, что функция

(1.4)

при любом значении постоянной удовлетворяет уравнению (1.1). Действительно, подставляя функцию (1.4) и ее производную в (1.1), получим тождество. Это означает, что функция вида (1.4) является решением уравнения (1.1).

Заметим, что мы нашли бесконечно много функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению (1.1) – каждому значению постоянной соответствует свое решение вида (1.4).Множество функций , обращающих уравнение (1.3) в тождество, называют общим решением дифференциального уравнения (1.3). Запись общего решения содержит произвольную постоянную . Заметим, что решение дифференциального уравнения может быть записано и в неявном виде .

Допустим, что в рассматриваемой задаче известна скорость тела в начальный момент времени . Обозначим её . Чтобы определить, как будет изменяться скорость тела в дальнейшем, выделим из найденного множества решений (1.4) только одно - то, которое соответствует начальному условию . При и из множества решений (1.4) получим , откуда . Подставляя найденное значение постоянной в (1.4), получим закон изменения скорости падающего тела при заданном начальном условии :

. (1.5)

Согласно последнему равенству, скорость падающего тела при будет стремиться к величине . Отсюда, в частности, можно найти нужный коэффициент сопротивления (парашют), чтобы обеспечить приземление с допустимой скоростью. Функция (1.5) представляет собой так называемое частное решение уравнения (1.1), соответствующее начальному условию .

Частным решением уравнения (1.3) называется одна функция, удовлетворяющая самому уравнению и начальному условию. Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (1.3), удовлетворяющего данному начальному условию , называют задачей Коши. Если правая часть уравнения (1.3) непрерывна в некоторой области, содержащей начальную точку , и имеет непрерывную в этой области частную производную , то задача Коши имеет единственное решение. При этих условиях частное решение получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной .

Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения – интегральной кривой. Рассмотрим геометрическую интерпретацию решений уравнения (1.3) на конкретном примере. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения

, (1.6)

удовлетворяющего начальному условию

. (1.7)

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция вида

(1.8)

обращает уравнение (1.6) в тождество. Она содержит произвольную постоянную и является общим решением уравнения (1.6). Построив в плоскости графики этих функций при различных значениях . мы получим семейство парабол (См. рис.1).

Чтобы выделить из этого семейства интегральных кривых конкретную параболу, соответствующую условию (1.7), рассмотрим точку с координатами . Через нее проходит парабола семейства (1.8), для которой . Соответствующее решение является искомым частным решением.

Переходим к рассмотрению конкретных видов дифференциальных уравнений первого порядка и методов их решения.

Если правая часть дифференциального уравнения (1.3) может быть записана в виде произведения функций двух функций и , зависящих от переменных и соответственно, то есть , то уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Учитывая, что , перепишем последнее уравнение в виде

или .

Умножая обе части последнего уравнения на , получим вид уравнения , (1.9)

в котором каждая из переменных и находится в той части уравнения, где ее дифференциал. Считая известной функцией от , равенство (1.9) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов и интегрировать обе части уравнения (1.9). Полученные при этом функции и будут отличаться постоянным слагаемым: . Мы записали соотношение, связывающее решение , независимую переменную и произвольную постоянную , это соотношение и представляет собой общее решение дифференциального уравнения (1.3).

Уравнение с разделяющимися переменными, записанное исходно в дифференциальной форме

,

решается аналогично.

Решим для примера дифференциальное уравнение

. (1.10)

Функцию в правой части уравнения можно представить в виде произведения и переписать уравнение (1.10):

или .

Умножая обе части последнего уравнения на функцию , получим . Интегрируя , находим , или , откуда – общее решение уравнения (1.10), где – произвольная постоянная.

Решим далее задачу Коши: найдем решение уравнения

, (1.11)

при условии, что

. (1.12)

Дифференциальное уравнение (1.11) с разделяющимися переменными запишем в виде

.

Умножая обе части последнего уравнения на , разделим переменные: .

Интегрируя , находим , или , где – произвольная постоянная.

Итак, общее решение уравнения (1.11) имеет вид

.

Учет начального условия (1.12) дает , откуда . Следовательно, решение задачи Коши записывается в виде

или .

Рассмотрим далее л инейные дифференциальные уравнения первого порядка, которые, по определению, имеют вид

. (1.13)

Решение уравнения (1.13) будем искать в виде произведения

(1.14)

двух неизвестных функций и , тогда

. (1.15)

Подставив в уравнение (1.13) вместо и равенства (1.14) и (1.15) соответственно, получим

,

или . (1.16)

Рассмотрение вместо одной неизвестной функции двух функций и дает возможность ввести для одной из них, в частности , дополнительное условие, которое упростит уравнение. Оно состоит в требовании обращения выражения в нуль, то есть

. (1.17)

Уравнение (1.17) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и . Его запишем в виде или . Умножая обе части последнего уравнения на , разделяем переменные: . Интегрируем

и находим одно из решений уравнения (1.17), например, при постоянной . Это решение обозначим . Для второй неизвестной функции из (1.16) получим уравнение . Снова разделяем переменные и, интегрируя, находим , где – произвольная постоянная.

Подставляя найденные и в функцию (1.14), получаем решение уравнения (1.13) в виде .

Найдем для примера общее решение уравнения

(1.18)

В нем по условию , . Подставив в уравнение и , получим ,

или . (1.19)

В качестве функции возьмем одно решение уравнения при значении . Перепишем его в виде , разделим переменные и, интегрируя , находим . При получим . (1.20)

Подставим функцию (1.20) в (1.19), получим или .

Снова разделяя переменные и интегрируя ,

находим , (1.21)

где – произвольная постоянная.

Подставляя найденные функции (1.20) и (1.21) в равенство , получим общее решение данного уравнения (1.18)

.

Дата добавления: 2015-08-09