ОДУ Эйлера.

(1) – однородное уравнение Эйлера.

Т.: однородное уравнение Эйлера всегда приводится к ЛДУ с постоянными коэффициентами заменой .

Доказательство: , необходимое условие выполнено, покажем, что уравнение с постоянными коэффициентами:

, , , , , . Подставим в (1), получим .

Т.к. сигнум входит в четной степени, общее решение не зависит от знака . Поэтому достаточно найти решение при , сделав замену , а затем заменить: , .

22. ЛОДУ n -го порядка с ПеремК. Приведение к ЛДУ с ПостК с помощью замены искомой функции.

- ЛОДУ с переменными коэффициентами (1).

Т.: линейность и однородность уравнения (1) сохраняется при замене , где - новая искомая функция, а - непрерывная и n раз дифференцируемая функция.

Для линейных ДУ применимы все методы решения нелинейных уравнений высших порядков. В частности, порядок уравнения может быть понижен на единицу заменой , где - новая искомая функция. Однако, при такой замене, уравнение чаще всего становится нелинейным.

Пусть дано уравнение . Сделаем замену , тогда и - получено уравнение Риккати.

23. Понижение порядка ЛОДУ n -го порядка с ПеремК при помощи известного частного решения.

- ЛОДУ с переменными коэффициентами (1).

Т.: если известно одно нетривиальное частное решение уравнения (1), то его порядок может быть понижен на единицу с сохранением линейности и однородности заменой , где - новая искомая функция.

Доказательство: , найдем производные:

, …, , подставим в (1):

, перегруппируем члены:

Первое слагаемое равно 0, и получилось уравнение порядка.

Следствие: если известны k линейно независимых решений уравнения (1), то его порядок можно понизить на k единиц.

Если известны частное решение (1), то оно приводится к уравнению 1 порядка, интегрируемому в квадратурах.

Если известно одно частное решение ЛОДУ 2 порядка , то его общее решение всегда может быть получено в квадратурах. Второе же частное решение, линейно независимое с первым, этого уравнения можно получить по формуле Остроградского-Лиувилля: .

24. Отыскание ЧР ЛОДУ n -го порядка с ПеремК в виде функции заданного вида и в виде степенного или обобщенного степенного ряда.

- ЛОДУ с переменными коэффициентами (1).

Подбор в виде функции заданного вида:

1) , . Надо подставить в (1), сократить на и приравнять коэффициенты при x

2) . Надо подставить в (1), приравнять к 0 коэффициент при старшей степени x, и найти n. Затем записать полином найденной степени с неопределенными коэффициентами и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x.

Подбор в виде степенного или обобщенного степенного ряда:

Пусть для (1) поставлена задача Коши:

Т. Коши: если аналитические при , то решение задачи Коши для (1) существует и единственно, и является аналитическим по крайней мере в области , т.е. (2)

, …, . Остальные коэффициенты выражаются через них. Подставим (2) в (1) и приравняем к 0 все коэффициенты при степенях x

Если - особая точка для (1), т.е. хотя бы один из коэффициентов стремится к бесконечности, то в окрестности решение можно искать в виде обобщенного степенного ряда: (3). Для определения подставим (3) в (1) и приравняем к 0 коэффициент при минимальной степени x. При этом можно получить обычный степенной ряд, если .

Дата добавления: 2015-08-09