Метод Пикара как приближенный метод решения ЗК

m-тое приближение аппроксимирует точное решение.

Достаточное условие выполнения условия Липшица – существование непрерывных частных производных .

Т. Пеано: если в области функции определены и непрерывны по совокупности переменных, то задача Коши имеет по крайней мере одно решение.

30. Общая теория нормальных CДУ и ДУ n -го порядка.

- система ДУ (1), , - задача Коши (2)

Т. о продолжении решения системы (1): при выполнении условий т. Коши-Пикара в ограниченной замкнутой области решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям (2), продолжаемо до тех пор, пока не достигнет границы.

Т. о гладкости решения системы (1): если в ограниченной замкнутой области функции определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы до k -го порядка по совокупности переменных, то всякое решение системы (1) в этой области непрерывно и непрерывно дифференцируемо по x по крайней мере раз.

Т. о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий: пусть в области функции удовлетворяют условиям т. Коши-Пикара, тогда можно указать такой промежуток , в котором решение задачи Коши (2) непрерывно зависит от начальных условий.

Т. о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров: пусть система имеет вид , . Пусть в области при изменении параметров в конечной области функции удовлетворяют условиям: 1) определены и непрерывны по совокупности переменных; 2) удовлетворяют условиям Липшица; 3) константа Липшица не зависит от параметров, тогда можно указать такой промежуток , в котором решение задачи Коши (2) непрерывно зависит от параметров.

Т. о дифференцируемости решения задачи Коши по начальным условиям и параметрам: если в области при изменении параметров в конечной области функции удовлетворяют условиям: 1) определены и непрерывны по совокупности переменных; 2) существуют непрерывные ; 3) существуют непрерывные , тогда задача Коши (2) имеет единственное решение, которое определено в окрестности , непрерывно по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемо по параметрам и начальным условиям.

Замечание: на основании того, что нормальную СДУ можно свести к уравнению n -го порядка, эти теоремы верны и для него.

Дата добавления: 2015-08-09