ЛОСДУ с ПостК. Т. Коши-Пикара. Метод Эйлера построения ФСР. Случай действительных различных корней характеристического уравнения.

(1) - ЛОСДУ с постоянными коэффициентами

Т. Коши-Пикара: , , решение задачи Коши для (1) существует, единственно и определено на всей числовой оси.

Доказательство: - непрерывная

Метод Эйлера построения ФСР:

, (2). Хотя бы одно , т.к. отыскиваемое решение не тривиальное. Подставим в систему, получим . Относительно - линейная однородная алгебраическая система. Чтобы она имела решение необходимо . Таким образом, решение вида (2) существует, если - собственное число, а - собственный вектор матрицы А.

Если - действительные различные корни, а . Собственный вектор определяется с точностью до множителя. Если возможно, берут , а остальные выражают через нее. Получаем n решений , . Докажем их линейную независимость от противного. . Существует хотя бы одно , тогда рассмотрим k -ый столбец. В нем существует , т.к. - нетривиальный собственный вектор. Рассмотрим j-ую строку. В ней функции линейно независимы, т.е. , …, , …, но и , следовательно, обнаружено противоречие.

Таким образом, .

Дата добавления: 2015-08-09