ЛОСДУ с ПостК. Метод Эйлера построения ФСР. Случай комплексных и кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости.

(1) - ЛОСДУ с постоянными коэффициентами

Метод Эйлера построения ФСР:

, (2). Хотя бы одно , т.к. отыскиваемое решение не тривиальное. Подставим в систему, получим . Относительно - линейная однородная алгебраическая система. Чтобы она имела решение необходимо . Таким образом, решение вида (2) существует, если - собственное число, а - собственный вектор матрицы А.

Если есть , то, т.к. все коэффициенты системы действительны, найдется и . Найдем комплексный собственный вектор и запишем комплексное решение . Представим его по формуле Эйлера, получим два решения: , . Сопряженный корень рассматривать не надо, т.к. он не даст новых линейно независимых с найденными решений.

Если - корень кратности m, то для анализа этого случая используется теория элементарных делителей. Нужно вычислить 2 числа: и , где m – кратность корня , а n – порядок системы.

Если , то существует m линейно независимых собственных векторов и линейно независимых решений .

Если , то существует линейно независимых собственных векторов и линейно независимых решений . Решение следует записать в виде (*), где - многочлены с неопределенными коэффициентами степени l. Среди неопределенных коэффициентов m произвольных, остальные выражаются через них. Полагая поочередно один из произвольных коэффициентов за единицу, а остальные нулями, построим m линейно независимых решений. Если , то они тоже будут действительными и войдут в ФСР. Если , выделяя действительную и мнимую части, получим 2 m действительных решений для ФСР.

Замечание: независимо от значения l, можно искать в виде (*), полагая , при этом некоторые старшие коэффициенты могут оказаться нулями.

Т.: общее решение ЛОСДУ всегда может быть получено в элементарных функциях.

Дата добавления: 2015-08-09