ЛНСДУ. Т. о структуре общего решения. Некоторые свойства решений. Принцип суперпозиции.

- (1) ЛНСДУ

Т. о структуре общего решения:

Доказательство: пусть известно частное решение . Сделаем замену , тогда . Подставим в (1): . должно быть решением соответствующей однородной системы. Пусть - ФСР соответствующей однородной системы, докажем, что (2) – решение неоднородной. При любом наборе коэффициентов это выражение является решением (1). Т.к. система (1) для любого набора конечных начальных условий имеет единственное решение, то достаточно показать, что из (2) можно выделить частное решение подбором . - относительно это линейная неоднородная алгебраическая система с определителем, равным вронскиану, т.е. отличным от 0, следовательно, она имеет единственное решение.

Свойства решений:

1) Принцип суперпозиции. Если - решение линейной неоднородной системы , то - решение .

Доказательство: рассмотрим

2) Если система , где , , а все коэффициенты , , действительны, то система имеет решение , где , , и функции , действительные, то вектор-функции и являются решениями систем и соответственно.

Доказательство: , , , .

Дата добавления: 2015-08-09