ЛСДУ в НФ. Т. Коши-Пикара. Однородные и неоднородные системы. Некоторые свойства решений однородной системы.

- линейная система ДУ в нормальной форме (1)

и определены и непрерывны на .

Запишем (1) в векторно-матричной форме: . Если все , то система однородная.

Т. Коши-Пикара: если и непрерывны на , то задача Коши для (1) при любых конечных значениях , имеет единственное решение, определенное на всем отрезке .

Свойства решений однородной системы:

1) если - решение, то и - решение

2) если и - решения, то их сумма – решение

3) если - решения, то их линейная комбинация – решение

4) если система с действительными коэффициентами имеет комплексное решение , то и - тоже решения системы.

32. ЛОСДУ в НФ. Линейная независимость n частных решений. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля.

- определитель Вронского, где i -ый столбец соответствует i -ому решению.

Т.: необходимое и достаточное условие линейной независимости n частных решений ЛОСДУ с непрерывными коэффициентами – отличие от 0 вронскиана хотя бы в одной внутренней точке .

Доказательство: 1) необходимость

Пусть - линейно независимы, требуется доказать, что . Пусть , . Рассмотрим систему: . Относительно получена линейная однородная алгебраическая система с определителем, равным 0, следовательно, существует ее нетривиальное решение . Рассмотрим вектор-функцию . Она является решением системы, причем удовлетворяющим нулевым начальным условиям. Тем же нулевым начальным условиям удовлетворяет и решение . По т. Коши-Пикара эти решения совпадают. Таким образом, найдется коэффициент , следовательно, решение линейно зависимо и найдено противоречие.

2) достаточность

Пусть , требуется доказать, что - линейно независимы. Рассмотрим их линейную комбинацию: . Составим систему . Относительно получена линейная однородная алгебраическая система с определителем, равным , следовательно, существует только тривиальное решение. Таким образом, не существует , следовательно, решение линейно независимо.

Эта теорема распространяется на произвольные системы функций.

Формула Остроградского-Лиувилля:

Дата добавления: 2015-08-09