Задача о построении ЛОДУ по заданной ФСР.

Пусть - система n раз дифференцируемых, линейно независимых на функций и . Требуется составить ДУ, для которого эти функции – ФСР. Т.к. любое решение искомого уравнения должно быть линейно зависимым с , то . Разложим его по последнему столбцу. Коэффициент при . Таким образом, это будет уравнение n -го порядка. При подстановке в него любого решение в определителе будут 2 одинаковых столбца, т.е. они будут решениями уравнения.

Т.: пусть даны уравнения (*) и (**), где непрерывны на , имеют одну и ту же ФСР, тогда (*) и (**) тождественны, т.е. .

Доказательство: пусть . В силу непрерывности коэффициентов, они различаются и в некоторой окрестности . В этой окрестности линейно независимы. Вычтем из (*) уравнение (**), получим (***). Пусть - решение (*), следовательно ; пусть - решение (**), следовательно . Таким образом, , следовательно - решение (***). Таким образом, порядка не выше , а в окрестности оно имеет n линейно независимых решений. Найдено противоречие.

Следствие: ФСР однозначно определяет ЛОДУ с непрерывными коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице.

10. ЛОДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами. Т. Коши-Пикара. Метод Эйлера построения ФСР. Случай простых корней характеристического уравнения.

- ЛОДУ с постоянными коэффициентами (1).

Т. Коши-Пикара: для любых конечных начальных условий решение задачи Коши существует и единственно на всей числовой оси.

Метод Эйлера построения ФСР:

При : ,

При : следует искать решение в виде . Подставим в (1): , . Чтобы уравнение имело решение, должно быть корнем характеристического многочлена.

1. Если - простые различные действительные корни, то каждому .

Т.: функции образуют ФСР на любом .

Доказательство:

2. Если различные простые корни, причем, и .

, . Решениями являются , , , . Берут только первые 2 как линейно независимые.

Т.: функции , , линейно независима на любом .

Доказательство: пусть это не так и эта система линейно зависима, а , т.е. , получим . В итоге получим . Разделим на и продифференцируем, повторим. В итоге . Следовательно, - обнаружено противоречие.

Т.: функции , , , , образуют ФСР на любом

Доказательство: рассмотрим линейную комбинацию . Представим , . Тогда линейная комбинация примет вид . По предыдущей теореме, эти функции линейно независимы только тогда, если все коэффициенты равны 0, т.е. .

11. ЛОДУ n -го порядка с ПостК. Метод Эйлера построения ФСР. Случай кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости.

- ЛОДУ с постоянными коэффициентами (1).

Метод Эйлера построения ФСР:

При : ,

При : следует искать решение в виде . Подставим в (1): , . Чтобы уравнение имело решение, должно быть корнем характеристического многочлена.

1. Если среди корней есть кратные кратности . Тогда , . Число решений меньше n, значит надо искать решения в другом виде. , следовательно, - решение. . Корню соответствуют , , …, .

Т.: если имеет r корней кратности , , то оно имеет n линейно независимых на любом частных решений (*)

Доказательство (от противного): рассмотрим линейную комбинацию . Ее можно записать как . Для определенности, не уменьшая общности, предположим, что в есть не равный 0 коэффициент. Разделим тождество на , получим: и продифференцируем это тождество раз по x: . В найдется отличный от 0 коэффициент. Повторим процесс. В итоге получим , хотя оба множителя не равны 0. получено противоречие.

В случае действительных корней (*) составляет ФСР на любом . Если есть комплексный корень кратности , то есть и комплексно сопряженный корень той же кратности. Им соответствует совокупность решений. Выделяя их реальную и мнимую части, получим действительных решений для ФСР: , ,…, , , ,…, . Их линейная независимость доказывается аналогично случаю простых комплексно сопряженных корней.

Т.: общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами на любом может быть представлена в элементарных функциях в виде конечного числа квазиполиномов или с произвольными коэффициентами.

Замечание: число квазиполиномов определяется числом различных корней . Степень квазиполинома определяется кратностью соответствующего корня. Общее число коэффициентов всех квазиполиномов равно порядку уравнения.

12. ЛНДУ n -го порядка. Т. о структуре ОР. Нек. св-ва решений. Принцип суперпозиции.

- ЛНДУ n -го порядка.

Т. о структуре общего решения: общее решение есть сумма .

Доказательство: пусть известно , . Сделаем замену , . . Следовательно, и z – решение соответствующего однородного уравнения. Пусть - ФСР однородного уравнения, докажем, что (1) - общее решение. Т.к. для (1) выполняются условия т. Коши-Пикара, то достаточно показать, что из для любого набора начальных условий можно выбрать частное решение. Составим систему . Относительно получена линейная неоднородная алгебраическая система с определителем, равному вронскиану для решения и потому отличному от 0. Следовательно, она имеет единственное решение, т.е. существует и единственно.

Некоторые свойства решений ЛНДУ.

1) Принцип суперпозиции. Пусть - решение , тогда будет решением уравнения . Это означает, что .

2) Если уравнение - комплекснозначная функция, причем все , и - действительные функции, имеет комплексное решение , где и - действительные функции. Тогда - решение уравнения , а - решение .

, , и .

13. ЛНДУ n -го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для отыскания ЧР. Т. об интегрируемости.

- ЛНДУ n -го порядка. (1)

Метод Лагранжа: пусть - ФСР соответствующего однородного уравнения, следовательно . Будем искать частное решение в том же виде, но произвольные постоянные запишем в виде функций. Выбор функций должен удовлетворять уравнению, значит, на них можно наложить условие, лишь бы они были совместны. Найдем производные:

, , …, . Причем , …, , . Подставим все производные в (1): . Перегруппируем: . Разрешим систему относительно , ее определитель равен вронскиану и не равен 0, следовательно существуют единственные , а, значит, и единственные , т.е. частное решение находится единственным образом.

Т.: если на известна ФСР соответствующего однородного уравнения, то общее решение ЛНДУ всегда находится в квадратурах.

Дата добавления: 2015-08-09