Метод Коши отыскания ЧР ЛНДУ n-го порядка.

- ЛНДУ n -го порядка. (1)

. - специальное решение соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющее специальным начальным условиям: , (2) . Если известна ФСР соответствующего однородного уравнения, то решение выделяется из общего посредством удовлетворения начальным условиям (2). .

Формула дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, по этому параметру:

Т.к. нижний предел – константа: , …, , . Подставим в (1): . Перегруппируем: . Это выполняется, т.к. - решение неоднородного уравнения.

Замечание: метод Коши дает ЧР линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным условиям.

Методы Лагранжа и Коши справедливы как для уравнения с постоянными, так и для уравнения с переменными коэффициентами.

15. ЛНДУ n -го порядка с ПостК и специальной правой частью (СПЧ) вида .Метод неопределенных коэффициентов.

- ЛНДУ n -го порядка. (1)

В общем случае специальная правая часть выглядит как (2). Что-то из этого может отсутствовать.

Т.: общее решение уравнения (1) с СПЧ (2) всегда может быть получено в элементарных функциях: . следует искать в виде (3), где , - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, , если - корень кратности , и , если - не корень. После подстановки (3) в (1) и сокращения на , приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и , и отдельно. Коэффициенты всегда можно найти и притом единственным образом.

Пусть СПЧ имеет вид , .

а) 0 – не корень

, , значит, . ЧР будем искать в виде . Подставим в (1): . Приравняем коэффициенты: . Система для определения коэффициентов . Ее определитель равен , значит, есть единственное решение.

б) 0 – корень кратности . Это значит, что , и , . В этом случае (1) примет вид . Сделаем замену , тогда и . Подберем ЧР для z в виде , т.е. . Проинтегрируем раз по x, и получим . Для простоты положим константы равными 0, тогда .

16. ЛНДУ с ПостК и СПЧ вида . Метод неопределенных коэффициентов.

- ЛНДУ n -го порядка. (1)

В общем случае специальная правая часть выглядит как (2). Что-то из этого может отсутствовать.

Т.: общее решение уравнения (1) с СПЧ (2) всегда может быть получено в элементарных функциях: . следует искать в виде (3), где , - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, , если - корень кратности , и , если - не корень. После подстановки (3) в (1) и сокращения на , приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и , и отдельно. Коэффициенты всегда можно найти и притом единственным образом.

Пусть СПЧ имеет вид , .

Сделаем замену , пересчитаем производную: , …, , подставим в (1). . Выпишем .

а) пусть - не корень

, значит, , и

б) пусть - корень кратности

, . Тогда коэффициенты , , …, , . Тогда , .

17. ЛНДУ с ПостК и СПЧ вида . Метод неопределенных коэффициентов. Метод комплексных амплитуд.

- ЛНДУ n -го порядка. (1)

В общем случае специальная правая часть выглядит как (2). Что-то из этого может отсутствовать.

Т.: общее решение уравнения (1) с СПЧ (2) всегда может быть получено в элементарных функциях: . следует искать в виде (3), где , - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, , если - корень кратности , и , если - не корень. После подстановки (3) в (1) и сокращения на , приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях и , и отдельно. Коэффициенты всегда можно найти и притом единственным образом.

Пусть СПЧ имеет вид , .

, .

а) - не корень

Используя принцип суперпозиции, будем искать ЧР в виде . Можно показать, что если , то . Подставим в ЧР:

б) - корень кратности

Если один из многочленов есть тождественный ноль, то легче искать частное решение методом комплексных амплитуд.

Если , то перейдем к вспомогательному уравнению , , где - многочлен с неопределенными коэффициентами. .

Если , то проделаем все то же самое, только

Дата добавления: 2015-08-09