Дифференциал функции

Для функции y = f (x) рассмотрим производную Отсюда, по определению предела, величина является бесконечно малой. Тогда или , где А = f ′(x) – константа. Таким образом, приращение ∆ y отличается от величины на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ∆ x.

Определение 5.2. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение в этой точке можно записать в виде: .

Величина А ∆ x называется дифференциалом функции f (x) и обозначается dy = А∆x = f′ (x) ∆ x.

Величина называется дифференциалом независимой переменной и обозначается . Тогда

(5.2)

Теорема 5.2. Функция f (x) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке, равную А.

Заметим, что мы можем рассматривать производную, как отношение двух дифференциалов:

(5.3)

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования. Свойства дифференциала. Таблица производных

1) Производная константы равна нулю, т.е. .

2) Если функция f (х) имеет производную в точке х, то С∙f (х) также имеет производную в точке х, и при этом

(5.4)

3) Если функции и (х) и v (x) имеют производные в точке х, то их сумма f (х) = и (х) + v (x) также имеет производную в точке х, и при этом

(5.5)

4) Если функции и (х) и v (x) имеют производные в точке х, то их произведение f (x) = u (x)× v (x) также имеет производную в точке х и

(5.6)

5) Если функции и (х) и v (x) имеют производные в точке х и, кроме того, v (x)¹ 0, то частное также имеет производную в точке x и

(5.7)

6) Пусть дана сложная функция у = f (u), где и = g (x) и пусть u = g (x)имеет производную в точке х, а функция y = f (u) имеет производную в точке и = g (x). Тогда сложная функция у = f (g (х)) имеет производную в точке х и

(5.8)

20. Свойства дифференциала

dc = 0, c = const.

d (u ± v) = du ± dv.

d (cu) = c du, c = const.

d (uv) = v du + u×dv.

.

Дифференциал сложной функции: если y = f (x), x = φ(t), то .

Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или функцией от другой независимой переменной. Таким образом, если и , то . Тогда свойство инвариантности выражается формулой:

(5.9)

21. Таблица производных основных элементарных функций (таб. 5.1)

22. Таблица 5.1

Примеры.

2. . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

3. . Воспользуемся правилом дифференцирования частного функций:

.Так как эта функция сложная, то воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Дата добавления: 2015-08-18