Функции, непрерывные на отрезке

Определение 4.25. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Функция f: Е ® R называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения Е.

Перечислим свойства функций, непрерывных на отрезке.

1). Пусть функция непрерывна на , тогда ограничена на , т.е. (см. рис. 4.9).

2). Пусть функция непрерывна на , тогда принимает наибольшее и наименьшее значения на , т.е. и (см. рис. 4.10).

Рис. 4.9 Рис. 4.10

3). Пусть функция непрерывна на , тогда принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим значениями, т.е. (см. рис. 4.11).

Рис. 4.11 Рис. 4.12

4). Пусть функция непрерывна на , на концах отрезка принимает ненулевые значения, и , имеют разные знаки, тогда существует, по крайней мере, одна точка , такая что (см. рис. 4.12).

Заметим, в свойствах 1 и 2 существенно, что непрерывна на отрезке, а не на интервале. Например, непрерывна на , но она не ограничена на этом интервале. Далее, непрерывна на , но она не достигает максимума и минимума на этом интервале.

Контрольные вопросы

1. Числовая последовательность и ее предел.

2. Свойства предела числовой последовательности.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

4. Свойства бесконечно малых последовательностей.

5. Монотонная ограниченная последовательность.

6. Критерий Коши существования предела последовательности.

7. Предел функции на бесконечности.

8. Предел функции в точке.

9. Бесконечно большие функции.

10. Свойства предела функции.

11. Односторонние пределы.

12. Критерий Коши существования предела функции.

13. Замечательные пределы.

14. Виды неопределенностей.

15. Сравнение бесконечно малых функций.

16. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Применение эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

17. Непрерывность функции в точке.

18. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

19. Функции, непрерывные на отрезке.

Дата добавления: 2015-08-18