Скалярное произведение векторов

Определение 2.18. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение принято обозначать двумя способами: ab и (a, b). Мы будем использовать первое из обозначений:

ab = |a| × |b| cosj. (2.9)

Перечислим свойства скалярного произведения.

1. .

2. Свойство коммутативности: ab = ba.

3. Свойство линейности: (a a + b b) c = a(ac) + b(bc).

4. Скалярный квадрат является неотрицательным числом:

аа > 0, если а – ненулевой вектор,

аа = 0, если а – нулевой вектор.

Из этого свойства следует часто применяющаяся формула для вычисления длины вектора:

(2.10)

5. ab > 0 тогда и только тогда, когда угол j между векторами острый; ab < 0 тогда и только тогда, когда угол j тупой; ab = 0 тогда и только тогда, когда а и b перпендикулярны.

Пусть теперь векторы а и b заданы своими координатами: а = и b = .

Теорема 2.3. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

ab = . (2.11)

В качестве следствия из этой теоремы получаем формулу для вычисления косинуса угла между векторами a и b:

(2.12)

Пример. Векторы = 2 i – 6 j, = i + 7 j и = –3 i – j образуют треугольник АВС. Найти углы этого треугольника.

Решение. Пусть a – угол между векторами и = 3 i + j. Найдем скалярное произведение этих векторов по формуле (2.11): . Таким образом, векторы и перпендикулярны и . Пусть b – угол между векторами = –2 i + 6 j и . Тогда по формуле (2.12)

.

Аналогично находим косинус третьего угла:

.

Дата добавления: 2015-08-18