Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса является универсальным методом решения систем линейных уравнений с произвольным количеством уравнений и неизвестных.

Основная идея метода Гаусса заключается в том, что расширенная матрица системы уравнений путем элементарных преобразований приводится к ступенчатой форме, когда все элементы ниже главной диагонали обращены в нуль.

(1.11)

По полученной матрице выписывается система, которая будет эквивалентна исходной. Очевидно, r = rang .

Если в матрице (1.11) получилась строка с единственным ненулевым элементом – ,то и система несовместна, этой строке соответствует уравнение , не имеющее решений. В противном случае и возможны два варианта:

1) r = n и нижняя ненулевая строка матрицы (1.11) определяет уравнение: . Так как , то имеем решение . Подставим его в вышестоящее уравнение и получим уравнение с одной неизвестной ,решим его и перейдем к следующему уравнению и т.д. В результате получим единственное решение системы: (х ₁, х ₂, х ₃,..., х_n).

2) r < n и нижняя ненулевая строка дает уравнение с несколькими неизвестными: .

Назовем свободными переменными и выразим через них сначала , а затем остальные переменные . Получаем бесконечное множество решений системы.

Контрольные вопросы:

1. Определение матрицы. Транспонированная матрица.

2. Арифметические действия над матрицами.

3. Произведение матриц и его свойства.

4. Определитель матрицы и его свойства.

5. Разложение определителя по строке и столбцу.

6. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

8. Обратная матрица.

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

10. Понятия окаймляющего и базисного минора. Ранг матрицы.

11. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий единственности решения системы.

12. Общее решение системы линейных неоднородных уравнений.

13. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Дата добавления: 2015-08-18