Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера m×n.

.

Выделим в ней k строк и k столбцов (k ≤ min (m; n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -го порядка. Все такие определители называются минорами

этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r (A) или rang A.

Очевидно, что 0 ≤ r ≤ min (m; n), где min (m; n) – меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где , называются коэффициентами системы, числа - свободными членами.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

.

Коэффициенты этих уравнений записываются в виде матрицы А, называемой основной матрицей системы, а числа, стоящие в правой части системы, образуют столбец В, называемый столбцом свободных членов:

, .

Определение 1.11. Совокупность чисел называется решением системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел вместо неизвестных .

Системы, не имеющие решения, называются несовместными.

Системы, имеющие решения, называются совместными. Заметим, что система может иметь единственное решение, а может иметь бесконечно много решений.

Одна из задач линейной алгебры состоит в том, чтобы найти метод, позволяющий определить, совместна система или нет, а в случае совместности найти все решения системы.

Изложенная выше теория определителей позволяет исследовать на совместность системы, имеющие одинаковое количество уравнений и неизвестных.

Теорема 1.2 (Крамера). Система n уравнений с n неизвестными

имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:

(1.7)

где D – определитель матрицы системы, а D _k – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k -го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему

Решение. Вычислим определители:

.

Так как Δ отличен от нуля, то система совместна, тогда решения системы:

.

Дата добавления: 2015-08-18