Непрерывность функции в точке

Дадим три эквивалентных определения функции, непрерывной в точке.

Определение 4.22. Функция y = f (x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке a, если .

Определение 4.23. Функция у = f (x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d> 0 " x из неравенства | x – a |<d следует неравенство | f (x) – f (a)| < e.

Определение 4.24. Функция у = f (x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если приращение функции D у = f (a + D x) – f (a) в точке а стремится к нулю, когда приращение аргумента D х = х – а стремится к нулю, т.е. . См. рис. 4.8.

Рис. 4.8

Если функция определена в некоторой окрестности точки а, но не является непрерывной в этой точке, то говорят, что она имеет разрыв в этой точке, точка а при этом называется точкой разрыва функции f (x).

Можно дать определение разрывности функции на языке ε-δ.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, тогда если и выполняются и , то разрывна в точке а.

Математическое определение непрерывности функции соответствует интуитивному понятию непрерывной кривой, в том смысле, что ее можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Разрывной функции соответствует разрывный график.

Свойства функций, непрерывных в точке.

1. Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

2. Если f (x) непрерывна в а и f (a) ¹ 0, то f (x) сохраняет знак числа f (a) в некоторой окрестности а.

3. Пусть f и g непрерывны в точке а. Тогда f ± g, f × g, f / g (если g (a) ¹ 0) также непрерывны в точке а.

4. Непрерывность суперпозиции. Пусть f: Е ® R, g: F ® R, f (E) Ì F. Пусть f - непрерывна в точке а и g - непрерывна в точке f (a). Тогда непрерывна в а.

Дата добавления: 2015-08-18