Предел функции

11. Предел функции на бесконечности

Понятие предела функции на бесконечности является в определенном смысле обобщением понятия предела последовательности.

Определение 4.9. Функцию f (x) определённую на луче (Q, +¥), называют бесконечно малой при х ® +¥, если " e > 0 $ М > 0 такое, что " x > M выполняется | f (x)| < e. См. рис. 4.2.

Обозначение: .

Функцию f (x), определенную на луче (– ¥, а) называют бесконечно малой при х ® – ¥, если " e > 0 $ M > 0 такое, что " x < - M выполняется| f (x)| < e.

Обозначение: .

Поскольку вместо двух неравенств х <- М, x > M можно записать | х | > М, то можно объединить два приведенных выше определения в одно.

Функцию, определённую на (– ¥; a ₁) È(a ₂; + ¥), называют бесконечно малой при х ® ¥ (±¥), если " e > 0 $ M > 0 такое, что " x, если | x |> M,то | f (x)| < e.

Обозначение: .

Рис. 4.2 Рис. 4.3

Определение 4.10. Число b называют пределом функции f(x) при х®¥, если | f (x) – b | – бесконечно малая функция при х ® ¥, при этом пишут .

Приведем определение предела функции на бесконечности по Коши.

Определение 4.11. Число b называют пределом функции f(x) при х ® ¥, если " e > 0 $ M > 0 " x;если | x | > M,то| f (x) - b | < e. См. рис. 4.3.

12. Предел функции в точке

Определение 4.12. Функцию f (x)называют бесконечно малой при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x из неравенства| x – a |<dследует неравенство | f (x) | < e. См. рис. 4.4.

Обозначение: .

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Число b называют пределом функции f(x) при х ® а, если f (х) – b является бесконечно малой функцией при х ® а.

При этом пишут .

Можно снова привести определение предела функции в точке по Коши или, другими словами, на языке e-d.

Определение 4.13. Число b называют пределом функции f (x) при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x, если | x – a |<d, то | f (x) – b | < e.

Определение предела говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то f (x) приближается к b, делается как угодно близким к b.

13. Бесконечно большие функции

Определение 4.14. Функция у = f (х), определённая на объединении двух лучей (–¥; a ₁) È(a ₂; +¥), называется бесконечно большой при х ® ¥, если " P > 0 $ M > 0 " x, если | x |> M, то| f (x)| > Р.

Обозначение: .

Можно так же определить бесконечно большую функцию в точке.

Определение 4.15. Функцию f (x)называют бесконечно большой при х ® а, если " Р > 0 $ d> 0 " x из неравенства| x – a |<dследует неравенство | f (x) | > P. См. рис. 4.5.

Обозначение: .

Приведем свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. При этом будем предполагать, что а – либо конечное число, либо (+∞ или –∞).

1. Если , то , где – бесконечно малая при . Верно и обратное.

2. Постоянная функция у = с является бесконечно малой при х ® а тогда и только тогда, когда c = 0.

3. Сумма, произведение конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

4. Если f (x) – бесконечно малая функция при х ® а, то она является ограниченной в некоторой окрестности точки а.

5. Если f (x) – бесконечно малая функция при х ® а, а g (x) – ограниченная функция в некоторой окрестности точки а, то их произведение является бесконечно малой функцией при .

6. Если f (х) – бесконечно малая функция при х ® а и в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство | g (x)| £ | f (х)|, то и g (x) – есть бесконечно малая функция на соответствующем интервале.

7. Если и – бесконечно малая при , т.е. , то – бесконечно большая, т.е. .

8. Если и – бесконечно большая при , т.е. , то – бесконечно малая, т.е. .

14. Свойства предела функции

Снова будем предполагать, что а – либо конечное число, либо (+∞ или –∞).

1. Если функция имеет предел при х ® а, то он единственен.

2. Если функция имеет конечный предел при х ® а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

3. О предельном переходе в неравенствах. Если , и в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство f (х) £ g (x), то b £ c.

4. О пределе промежуточной функции. Если и в некоторой окрестности точки а справедливо f (x) £ g (x) £ h (x), то .

5. Арифметические свойства пределов: пусть , , где b и с – конечные числа, тогда

а) ,

б) ,

в) , если c ¹ 0.

15. Односторонние пределы

Определение 4.16. Число b называется левым пределом функции f (x) при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x: 0 < a – x <d Þ | f (x) – b | < e. См. рис. 4.6.

Обозначение: .

Число b называется правым пределом функции f (x) при х ® а, если " e > 0 $ d> 0 " x: 0 < x – a <d Þ | f (x) – b | < e. См. рис. 4.7.

Обозначение: .

Если а = 0, то используют обозначение и .

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Можно дать другие определения левого и правого пределов.

Определение 4.17. Левой окрестностью точки а называется произвольный полуинтервал , а правой окрестностью точки а называется произвольный полуинтервал .

Левая и правая окрестности точки ∞ будут, соответственно, и .

Определение 4.18. Число b называется левым (правым) пределом функции f (x) при х ® а, если определена в некоторой левой (правой) окрестности точки а, и если " e > 0 $ левая (правая) окрестность , такая что , , выполняется | f (x) – b | < e.

Левый и правый пределы в точке ∞ записываются следующим образом: и .

Левый и правый пределы называют односторонними, обычный предел называют двусторонним.

Теорема 4.4. Для того чтобы существовал , необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и и чтобы они были равны между собой, т.е.

.

16. Критерий Коши существования предела функции

Так же как и для последовательности, для функции существует аналогичный критерий Коши существования предела.

Определение 4.19. Функция называется функцией, удовлетворяющей условию Коши при , если окрестность точки а, такая что справедливо , или на языке : , если , то .

Теорема 4.5 (Критерий Коши). Для того чтобы функция имела предел в точке а, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в точке а.

17. Замечательные пределы

Первый замечательный предел: (4.2)

Эта формула получается из неравенства: , которое верно в некоторой окрестности нуля. Положим сначала, что х положительно, тогда и поэтому . Переворачивая неравенство, получаем . Отметим, что последнее неравенство верно и при х отрицательных, так как и . Поскольку , то по свойству о пределе промежуточной функции получаем: .

Второй замечательный предел записывается в двух видах:

(4.3)

Существование этого предела для натуральных х было обосновано при изучении числовых последовательностей.

Примеры.

1. .

2.

18. Виды неопределенностей

При вычислении пределов могут возникнуть так называемые неопределенности. Например, предел отношения при условии и может принимать различные значения, в том числе равняться бесконечности, или даже не существовать. В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида .

Перечислим все неопределенности, которые могут возникнуть при вычислении пределов: , , , , , , .

При возникновении неопределенности в каждом конкретном примере необходимо преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы неопределенность исчезла.

От неопределенности вида можно избавиться, используя второй замечательный предел. В дальнейшем будет показано, как раскрываются неопределенности вида и .

19. Сравнение бесконечно малых

Определение 4.20. Две бесконечно малые и называются величинами одного и того же порядка малости при , если В частности, если k = 1, то говорят, что и эквивалентные величины, и пишут ~ . Таким образом,

~ .

Определение 4.21. Бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая при , если

Порядок бесконечно малой функции можно определить из условия: если , то будет бесконечно малой порядка п.

Например, – бесконечно малая порядка 1 при , а – бесконечно малая порядка 2, так как

, .

Теорема 4.6. Пусть ~ при , тогда справедливы равенства:

, ,

,

где – некоторая функция, определенная в окрестности точки а.

Для применения этой теоремы на практике полезно знать как можно больше пар эквивалентных функций. Приведем наиболее часто используемые эквивалентности (при , см. таб. 4.1):

Таблица 4.1.

Дата добавления: 2015-08-18