Примеры.

1. .

2. .

Определение 4.2. Последовательность называется ограниченной, если существует число М, такое, что .

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М, такое, что .

Определение 4.3. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого e > 0 найдётся натуральное число N такое, что для " п > N выполняется неравенство | х_n - а | < e. Или, используя краткую запись,

" e > 0 $ N " n > N | х_n - а | < e.

В этом случае пишут или х_n ® а и говорят, что х_n стремится к а или последовательность сходится к а.

Если последовательность имеет конечный предел, то говорят, что она сходится. Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся.

Определение 4.4. Интервал , содержащий в себе точку а, называется окрестностью точки а.

Интервал (a - e, a + e) также будет окрестностью точки а. Он называется e- окрестностью точки а. При этом неравенство | х_n - а | < e может быть переписано в виде: (a - e, a + e).

Понятие предела является базовым понятием математического анализа. Сформулируем определение предела последовательности по-другому.

Определение 4.5. Число а называется пределом числовой последовательности , если любая e-окрестность точки а содержит все члены последовательности х_n, начиная с некоторого номера N (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

Отметим, что номер N в определении предела, вообще говоря, зависит от ε. Чем меньшую e-окрестность приходится рассматривать, тем более удаленные точки последовательности приходится брать.

7. Свойства предела последовательности

Элементарные свойства предела последовательности:

1. Если последовательность имеет предел, то он единственен.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

3 (о предельном переходе в неравенствах). Если последовательности и сходятся и £ для всех n, то .

4. Если и для всех п справедливо неравенство £ £ , то .

Арифметические свойства пределов последовательностей:

Пусть ® a, ® b, тогда

1. ± ® a ± b,

2. × ® a × b,

3. / ® a / b, b¹ 0.

Заметим, что пределы суммы, разности, произведения и частного могут существовать и без существования пределов и .

8. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 4.6. Последовательность называется бесконечно малой, если " e > 0 $ N, начиная с которого каждый член последовательности х_n по модулю меньшее e. Или "e > 0 $ N " n > N | х_n | < e.

Обозначение: .

Последовательность называется бесконечно большой, если " P >0 $ N " n > N | х_n | > P.

Обозначение: .

Бесконечно большая величина ни к какому конечному пределу не стремится.

Если бесконечно большая величина , начиная с некоторого номера N, принимает только положительные (отрицательные) значения, то пишут . Однако существуют бесконечно большие, для которых , но и .

Теорема 4.1. Для того, чтобы последовательность была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность , где у_n = 1/ , была бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Последовательность имеет предел а тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая величина.

2. Стационарная последовательность является бесконечно малой тогда и только тогда, когда с = 0.

3. Если отбросить (или добавить) конечное число членов бесконечно малой последовательности, то она останется бесконечно малой последовательностью.

4. Если – бесконечно малая последовательность и " n выполня­ется | y_n | £ | х_n |, то - бесконечно малая последовательность.

5. Бесконечно малая последовательность является ограниченной.

6. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

7. Если – бесконечно малая последовательность, а – ограниченная последовательность, то их произведение { х_n × y_n } является бесконечно малой последовательностью.

8. Если – ограниченная последовательность, а – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая.

9. Если – ограничена снизу, а – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.

Можно определить понятие предела последовательности на языке бесконечно малых последовательностей: число а называется пределом последовательности , если { х_n – а } – бесконечно малая последовательность, т.е. .

9. Монотонная ограниченная последовательность

Определение 4.7. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если ().

Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если ().

Все такие последовательности называются монотонными. При этом говорят, что последовательность монотонно возрастает или монотонно убывает.

Теорема 4.2. Пусть – монотонно возрастает (убывает). Если она ограничена сверху (снизу) числом М, то она имеет предел, не превосходящий М (не меньший М).

Рассмотрим числовую последовательность , где .

»2,718281…(4.1)

Это число имеет исключительную важность для математического анализа и его приложений. Некоторые свойства числа е делают особо выгодным выбор этого числа в качестве основания логарифма. Такие логарифмы называются натуральными и обозначаются ln.

10. Критерий Коши существования предела последовательности

Критерий Коши является общим признаком существования предела последовательности. Он позволяет определять сходимость последовательности без нахождения самого предела последовательности.

Определение 4.8. Последовательность называется фундаментальной, если " e > 0 $ N " n, m > N | - | < e.

Фундаментальную последовательность можно еще определить следующим образом: " e > 0 $ N " n > N, " p Î N| - | < e.

Теорема 4.3. (Критерий Коши). Чтобы последовательность сходи­лась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Дата добавления: 2015-08-18