Дать определение нигде неплотного и всюду плотных множеств. Привести примеры.

Подмножество из метрического пространства называется всюду плотным в , если .

Рассмотрим примеры пространств, имеющих счетные всюду плотные множества.

1). Дискретное метрическое пространство содержит счетное всюду плотное в нем множество тогда и только тогда, когда оно само состоит лишь из счетного числа точек. Действительно, замыкание любого множества в этом пространстве совпадает с .

2). В метрическом пространстве примером счетного всюду плотного множества является множество рациональных точек. 3). В метрических пространствах всюду плотным является совокупность векторов с рациональными координатами.

4). В пространстве всюду плотным является совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами.

5). В пространстве примером счетного всюду плотного множества является множество всех последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное (свое для каждой последовательности) число этих элементов отлично от нуля.

Множество называется нигде не плотным, если в любом шаре пространства найдется другой шар , не содержащий ни одной точки множества .

Примером нигде не плотного множества на числовой прямой может служить множество натуральных чисел.

Дата добавления: 2015-08-13