Дать определение пополнения метрических пространств. Описать схему доказательства теоремы о пополнении.

Пусть - метрическое пространство. Пополнением называется метрическое пространство , обладающее свойствами:

1) - полное пространство;

2) в есть подмножество , изометричное ;

3) плотно в .

Теорема. Каждое метрическое пространство допускает пополнение . Причем для любых двух пополнений и пространства существует изометрия пространств и , оставляющая на месте точки . (я вставил полное доказательство, но из него нужно только основные моменты выделить)

Доказательство теоремы проводится в форме построения искомого пополнения , как фактор - множества множества всевозможных фундаментальных последовательностей из по отношению эквивалентности . Отношение определяется следующим образом .

Проведем некоторые рассуждения, связанные с корректностью данного пути построения отношения и обоснованием того, что данное отношение является отношением эквивалентности. В первую очередь остановимся на вопросе существования предела .

Так как

,

то из фундаментальности последовательностей cледует фундаментальность числовой последовательности , а следовательно, и ее сходимость к некоторому пределу, который мы и обозначим . Отношение является рефлексивным (), симметричным и транзитивным

(

), т.е. является отношением эквивалентности. Итак, положим . Элементы данного множества будем обозначать (класс эквивалентности, порожденный последовательностью )

.

Определим расстояние на формулой

.

Докажем полноту пространства . Пусть - фундаментальная последовательность точек из . Поскольку плотно в , то можно указать такие элементы , что . Из аксиомы треугольника получим

.

Отсюда следует фундаментальность в последовательности с элементами . Значит ей соответствует элемент в . Имеем далее:

. Каждое из слагаемых в правой части стремиться к нулю при . Первое слагаемое - в силу выбора точек , а второе - в силу фундаментальности последовательности . Итак, последовательность сходится к .

Пусть теперь и - два пополнения и и - соответствующие изометрические отображения. Рассмотрим отображение . Оно изометрично и, значит, переводит фундаментальные последовательности в фундаментальные. Поскольку и полны, фундаментальные последовательности в являются сходящимися в . Это позволяет однозначно продолжить изометрию до изометрии , полагая .

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-08-13