Читайте также:
|
|
Функан 2010_4
Дать определение дискретного метрического пространства
Дискретное метрическое пространство – метрическое пространство, состоящее из изолированных точек. Метрика на нем задается следующим образом:
Х – дискретное метрическое пространство.
2. Привести примеры множеств, не являющихся открытыми и не являющихся замкнутыми в пространстве C[a,b].
Дать два определения предельной точки. Доказать эквивалентность этих определений.
А)Пусть С - некоторое подмножество из . Точка
называется предельной точкой множества С, если
для любого r > 0. Иначе говоря, в множество С входят точки, отличные от
, но сколь угодно близкие. Множество всех предельных точек для множества С обозначается символом
.
Б) Точка является предельной точкой множества
тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к
последовательность
элементов из
, отличных от
;
Пусть - предельная точка для множества
, укажем способ построения последовательности
отличных от
элементов из
, сходящейся к
. Для этого рассмотрим последовательность шаров
. Так как
- предельная точка для множества
, то для введенной последовательности шаров справедливо выражение
. В каждом из непустых множеств
возьмем по элементу
, полученная последовательность элементов из
обладает следующими свойствами:
.
Обратно, пусть для некоторой точки существует последовательность
отличных от
элементов из
, сходящаяся к
. Тогда
существует номер
, что
выполнено неравенство
, т.е.
. Таким образом,
- предельная точка для множества
.
4. Доказать, что параллелепипед - замкнутое множество.
5. Привести пример (с обоснованием) равномерно непрерывного отображения
Рассмотрим отображение , (здесь отображение из C[a,b] в R надо заменить) определенное формулой
,
где - непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица по второму аргументу
.
Отображение называется оператором Немыцкого (проверьте, что
) (Fx принадлежит R). Покажем, что отображение
является липшицевым отображением. Действительно,
(Fx-Fy под знаком модуля, а не нормы)
.
· 6. Дать три эквивалентных определения непрерывного отображения. Докажите эквивалентность одной из пар
Определение 1. (по Борелю). Пусть и
- два метрических пространства. Отображение
называется непрерывным в точке
, если для любого
можно указать такое
, что
для любой точки
, удовлетворяющей условию
(т.е.
).
Отображение называется непрерывным на множестве
из
, если оно непрерывно в каждой точке из
.
Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно на всем пространстве
.
Следующая теорема дает еще одно определение непрерывного отображения.
Теорема 4. Отображение двух метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз
каждого открытого множества
в
является открытым множеством в
.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение непрерывно, рассмотрим произвольное открытое множество
и докажем, что его прообраз
есть открытое множество в
. Для доказательства открытости множества
покажем, что каждая точка этого множества внутренняя. Пусть
произвольная точка из
. Так как
, а
открытое множество в
, то существует шар
. Из непрерывности отображения
следует, что существует
такое, что
, т.е.
и точка
- внутренняя точка множества
, а само множество
открыто.
Достаточность. Пусть при отображении прообраз каждого открытого множества
является открытым множеством в
. Докажем, что отображение
непрерывно в каждой точке
. Зафиксируем произвольное
и покажем существование
, для которого
. Действительно, прообраз открытого шара
есть открытое множество, содержащее точку
. Из открытости множества
следует существование
, при котором
. Таким образом мы получили включение
, которое и доказывает непрерывность отображения
.
Теорема доказана.
Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 443 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Обработка результатов опыта | | | Дать определение пополнения метрических пространств. Описать схему доказательства теоремы о пополнении. |