Дать два определения предельной точки. Доказать эквивалентность этих определений.

Функан 2010_4

Дать определение дискретного метрического пространства

Дискретное метрическое пространство – метрическое пространство, состоящее из изолированных точек. Метрика на нем задается следующим образом:

Х – дискретное метрическое пространство.

2. Привести примеры множеств, не являющихся открытыми и не являющихся замкнутыми в пространстве C[a,b].

Дать два определения предельной точки. Доказать эквивалентность этих определений.

А)Пусть С - некоторое подмножество из . Точка называется предельной точкой множества С, если для любого r > 0. Иначе говоря, в множество С входят точки, отличные от , но сколь угодно близкие. Множество всех предельных точек для множества С обозначается символом .

Б) Точка является предельной точкой множества тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к последовательность элементов из , отличных от ;

Пусть - предельная точка для множества , укажем способ построения последовательности отличных от элементов из , сходящейся к . Для этого рассмотрим последовательность шаров . Так как - предельная точка для множества , то для введенной последовательности шаров справедливо выражение . В каждом из непустых множеств возьмем по элементу , полученная последовательность элементов из обладает следующими свойствами: .

Обратно, пусть для некоторой точки существует последовательность отличных от элементов из , сходящаяся к . Тогда существует номер , что выполнено неравенство , т.е. . Таким образом, - предельная точка для множества .

4. Доказать, что параллелепипед - замкнутое множество.

5. Привести пример (с обоснованием) равномерно непрерывного отображения

Рассмотрим отображение , (здесь отображение из C[a,b] в R надо заменить) определенное формулой

,

где - непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица по второму аргументу

.

Отображение называется оператором Немыцкого (проверьте, что ) (Fx принадлежит R). Покажем, что отображение является липшицевым отображением. Действительно,

(Fx-Fy под знаком модуля, а не нормы)

.

· 6. Дать три эквивалентных определения непрерывного отображения. Докажите эквивалентность одной из пар

Определение 1. (по Борелю). Пусть и - два метрических пространства. Отображение называется непрерывным в точке , если для любого можно указать такое , что для любой точки , удовлетворяющей условию (т.е. ).

Отображение называется непрерывным на множестве из , если оно непрерывно в каждой точке из .

Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно на всем пространстве .

Следующая теорема дает еще одно определение непрерывного отображения.
Теорема 4. Отображение двух метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества в является открытым множеством в .

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение непрерывно, рассмотрим произвольное открытое множество и докажем, что его прообраз есть открытое множество в . Для доказательства открытости множества покажем, что каждая точка этого множества внутренняя. Пусть произвольная точка из . Так как , а открытое множество в , то существует шар . Из непрерывности отображения следует, что существует такое, что , т.е. и точка - внутренняя точка множества , а само множество открыто.

Достаточность. Пусть при отображении прообраз каждого открытого множества является открытым множеством в . Докажем, что отображение непрерывно в каждой точке . Зафиксируем произвольное и покажем существование , для которого . Действительно, прообраз открытого шара есть открытое множество, содержащее точку . Из открытости множества следует существование , при котором . Таким образом мы получили включение , которое и доказывает непрерывность отображения .

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-08-13