Доказать, что любая фундаментальная последовательность ограничена.

Функция ограничена, если имеет конечный предел. Тк фундаментальная последовательность удовлетворяет у-вию Коши => она имеет конечный предел => ограничена.

11. Привести пример (с обоснованием) метрики в , относительно которой не является полным пространством.

R

ρ(x,y)=|arctg x-arctg y|

1. Проверить, что является метрикой

а) ρ(x,y) 0 – очевидно, выражение arctg x – arctg y стоит по модулю

б) ρ(x,y)= ρ(y,x), очевидно, т.е. |arctg x – arctg y| = |arctg y – arctg x|

в) ρ(x,y) ρ(x,z)+ ρ(z,y)

|arctg x – arctg y| |arctg x – arctg z|+|arctg z – arctg y|

тк арктангенс четный, то можно просто сравнивать аргументы без изменения знака

|x-y|<=|x-z|+|z-y| - выполняется => неравенство треугольника выполняется для арктангенса

2. Приведем пример посл-ти, которая является фундаментальной, но не сходится.

x₁=1,

x₂=2,

…

x_n=n,

…

ρ(x_n, x_n+p)=|arctg x_n – atrctg x_n+p|= | x_n- x_n+p| = p< ε, поэтому она фундаментальна.

3. Покажем, что она ни к чему не сходится

Предположим противное, что

|arctg x_n– atrctg a|< ε

|arctg n- arctg a|< ε

=> a= , т. е. не существует а

=> последовательность не сходится

Дата добавления: 2015-08-13