Нормальное уравнение плоскости.

Рассмотрим произвольную плоскость. Проведем из начала координат прямую, перпендикулярную данной плоскости. Пусть Р – точка пересечения плоскости и прямой (см. рис. 3.6). Вектор является вектором нормали к данной плоскости. Направляющие косинусы этого вектора: cosa, сosb, cosg. Обозначим р – расстояние от начала координат до рассматриваемой плоскости, т.е. р = ОР.

Тогда нормальное уравнение плоскости запишется в виде

x cos a + y cos b + cos g – p = 0. (3.26)

Рис. 3.6

Заметим, что р не может быть отрицательным, так как это расстояние от точки О до плоскости.

Пусть теперь М¢ (х¢, у¢, z¢) – произвольная точка пространства. Выражение называется отклонением точки М¢ от данной плоскости. По знаку отклонения d (M¢) можно определить взаимное расположение точек М¢ и О относительно плоскости: если d (M¢) > 0, то М¢ и О лежат по разные стороны от плоскости; если d (M¢) < 0, то М¢ и О лежат по одну сторону от плоскости.

Пусть дано общее уравнение плоскости (3.20): Ах + Ву + Сz + D = 0.

Укажем алгоритм приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду: для этого надо умножить все уравнение на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного коэффициента.

Обозначим d – расстояние от точки М¢ (х¢, у¢, z¢) до данной плоскости. Используя нормирующий множитель, можно получить формулу для нахождения расстояния от точки М¢ (х¢, у¢, z¢) до плоскости, заданной общим уравнением:

(3.27)

Дата добавления: 2015-08-18