Смешанное произведение векторов

Определение 2.21. Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется скаляр (а ´ b) c.

Следующая теорема выясняет геометрический смысл смешанного произведения.

Теорема 2.5. Смешанное произведение (а ´ b) c трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с, приведенных к общему началу, и взятому со знаком «+», если тройка (a, b, с) правая, и со знаком «–», если тройка (a, b, с) левая.

Следствие. Справедливо равенство: (а ´ b) c = a (b ´ c).

В связи с этим смешанное произведение принято обозначать abс =

=(а ´ b) c = a (b ´ c).

Заметим, что тройка векторов меняет свою ориентацию (т.е. будучи левой становится правой, и наоборот), если в ней переставляются любые два вектора. Поэтому справедливы равенства: abс = – baс = – сbа = – acb.

Теорема 2.6. Если три вектора определены своими координатами: а = , b = и с = , то смешанное произведение вычисляется по формуле:

abс = . (2.16)

Используя смешанное произведение, можно сформулировать простое и удобное условие компланарности трех векторов.

Три вектора a, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Используя последнюю теорему, можно сформулировать условие компланарности в координатах.

Три вектора a, b и с компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю:

= 0. (2.17)

Пример. Вычислить объем тетраэдра, построенного на трех векторах p (3, 1, –2), q (–4, 0, 3) и r (1, 5, –1) и выяснить, какую тройку образуют эти векторы: левую или правую?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле (2.17):

pqr = .

Так как pqr < 0, то тройка (p, q, r) – левая. Имеем = 6. Найдем объем тетраэдра: .

Контрольные вопросы

1. Вектор на оси, длина и алгебраическая величина вектора.

2. Вектор на плоскости и в пространстве. Коллинеарные вектора. Проекция вектора на ось.

3. Декартовы координаты вектора. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами.

4. Линейные операции над векторами.

5. Базис. Разложение вектора по базису.

6. Линейные операции над векторами в координатной форме.

7. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.

8. Выражение скалярного произведения через координаты. Формула для вычисления угла между векторами.

9. Векторное произведение векторов: определение и свойства.

10. Выражение векторного произведения через координаты. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.

11. Смешанное произведение векторов: определение и свойства.

12. Выражение смешанного произведения через координаты. Вычисление объема параллепипеда и треугольной пирамиды.

Дата добавления: 2015-08-18