Дифференцирование обратных функций

Теорема 5.3. Пусть – непрерывная, строго возрастающая или строго убывающая в некоторой окрестности точки х, и пусть в этой точке существует производная . Тогда обратная функция также имеет производную в точке , причем выполняются формулы

или (5.10)

С помощью этой теоремы получаются формулы для производных обратных тригонометрических функций и логарифмической функции.

23. Производная неявной функции

Определение 5.3. Говорят, что уравнение задает функцию неявно, если существует множество Е, такое что для любого существует по крайней мере одно у, удовлетворяющее уравнению . Одно и то же уравнение может задавать не одну, а несколько функций.

Дифференцируя уравнение по х и учитывая, что у зависит от х, можно найти производную .

24. Логарифмическая производная

Определение 5.4. Пусть дана функция . Логарифмической производной этой функции называется производная от натурального логарифма этой функции. А именно, .

25. Производная сложно-степенной (сложно-показательной) функции

Определение 5.5. Функция вида называется сложно-степенной или сложно-показательной функцией.

Для того чтобы продифференцировать ее, воспользуемся логарифмической производной. Имеем

Так как , то . Следовательно,

(5.11)

Пример. Найдем производную функции у = (sin x) ^x.

Решение. Имеем ln у = ln (sin x) ^x = х ln sin x,

(ln y)^¢ = x ¢ ln (sin x) + x (ln (sin x))¢ = ln (sin x)+ = ln (sin x)+ x ctg x,

тогда у' = (sin x) ^x (ln (sin x) + x ctg x).

26. Производная функции, заданной параметрически

Определение 5.6. Говорят, что функция задана параметрически, если она задана уравне­ниями где t – параметр, пробегающий промежуток значений Т.

Теорема 5.4. Пусть функции x = x (t), y = y (t) имеют производные в окрестности некоторой точки t и . Тогда параметрически заданная функция имеет производную в этой точке, которая находится по формуле:

или (5.12)

Дата добавления: 2015-08-18