Формула приближенного вычисления. Производные высших порядков

27. Формула приближенного вычисления

Напомним, что приращение дифференцируемой функции можно представить в виде .

Если ∆ x мало, то приращение отличается от дифференциала на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ∆ x. Отсюда имеем приближенное равенство

или .

Тогда

(5.13)

Это и есть формула приближенного вычисления.

28. Производные высших порядков

Определение 5.7. Пусть дифференцируема в точке . Если также дифференцируема в точке x , то значение выражения называется второй производной функции в точке x и обозначается или

По индукции определяется производная n-го порядка в точке x , как производная от производной (n – 1)-го порядка,и обозначается или

Разумеется, производная п -го порядка может существовать и не существовать. Но если функция имеет п -ю производную, то тем самым имеется ввиду, что она имеет все производные до (п – 1)-го порядка включительно.

Физический смысл второй производной: если – путь, пройденный точкой за время , то вторая производная пути по времени есть ускорение точки в момент времени , т.е. .

29. Формула Лейбница

Пусть функции n- раз дифференцируемы в точке x. Тогда функция также имеет производную порядка n, выражаемую формулой

(5.14)

где , а – биномиальный коэффициент,

Формула (5.14) называется формулой Лейбница.

Дата добавления: 2015-08-18