Дифференциала

Пусть функция дифференцируема на открытом множестве . Рассмотрим её график, т.е. множество

.

Пусть точка лежит на графике функции , т.е. .

Найдем дифференциал .

Известно, что вектор есть касательный вектор к кривой Г, проходящей через точку и лежащей на графике функции .

Условие означает, что вектор ортогонален вектору касательной. Поэтому вектор ортогонален любой кривой, лежащей на графике и проходящей через точку . Его называют вектором нормали к графику функций в точке Р.

Плоскость, проходящая через точку Р и ортогональная вектору нормали , называется касательной плоскостью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:

.

Прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:

.

Если поверхность задана неявно, т.е. уравнением , то уравнение касательной плоскости имеет вид:

.

Из уравнения касательной плоскости получаем:

.

Получили геометрический смысл дифференциала: есть приращение аппликаты (координаты z) на касательной плоскости.

Геометрический смысл дифференцируемости функции в точке: если функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная плоскость к графику этой функции.

Дата добавления: 2015-08-13