П.2 Некоторые сведения о квадратичных формах

. Напомним, что функция вида , где числа удовлетворяют равенству , называется квадратичной формой переменных .

Числа называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих коэффициентов симметричная матрица

–

матрицей квадратичной формы.

. Квадратичная форма называется

а) положительно определенной, если для , одновременно не равных нулю;

б) отрицательно определенной, если для , одновременно не равных нулю;

в) знакопеременной (неопределенной), если она может принимать и положительные, и отрицательные значения при различных значениях .

Например, – положительно определенная квадратичная форма; – знакопеременная квадратичная форма, т.к. , .

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы были положительны, т.е.

, , …, .

. Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров её матрицы чередовались следующим образом:

, , , , ….

Дата добавления: 2015-08-13