Высших порядков. Пусть для функции , существуют частная производная

Пусть для функции , существуют частная производная . Если эта функция имеет в некоторой точке частную производную , то эта производная называется частной производной второго порядка и обозначается или .

Если , то эта производная обозначается .

Производные и называются смешанными. Вообще говоря, не всегда равна .

Теорема (о смешанных производных) Если обе смешанные производные и определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то = .

Производные более высоких порядков определяются по индукции.

Например, .

Дифференциалом второго порядка для называется величина

.

Если смешанные производные непрерывны, то для функции двух переменных .

Если обозначить оператор , то для

,

.

Например, .

Отметим, что дифференциалы второго и более высокого порядков не обладают свойством инвариантности относительно замены переменных.

Дата добавления: 2015-08-13