П.3 Достаточные условия локального экстремума

Второй дифференциал функции в точке записывается в виде:

.

Отсюда видно, что является квадратичной формой от перемен-ных , а частные производные – коэффициентами этой квадратичной формы.

Теорема (достаточные условия экстремума) Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные второго порядка и пусть . Тогда:

1) если второй дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума функции ;

2) если – отрицательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума функции ;

3) если – знакопеременная квадратичная форма, то функция не имеет экстремума в точке .

Замечание. Если для функции двух переменных обозначить

, то:

1) если , то функция в точке имеет экстремум (максимум при и минимум при );

2) если , то функция не имеет экстремума;

3) если , то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь. В этом случае нужны дополнительные исследования.

§6 Условный экстремум

Дата добавления: 2015-08-13